数列考查的九个热点
热点题型速览
热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算
热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇
热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题
热点一等差数列的基本计算
1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516
B.440
C.258
D.220
2(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，
空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65m
B.85m
C.100m
D.120m
分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(
)
A.3699块
B.3474块
C.3402块
D.3339块
2024届高考数学专项数列考查的九个热点
4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n
的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【规律方法】
1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的
条件；若求a m项，可由a m=1
2
(a m-n+a m+n)转化为求a m-n，a m+n或a m-n+a m+n的值．
3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.
热点二等比数列的基本计算
5(2020·全国·统考高考真题)设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8= ()
A.12
B.242019高考数学答案
C.30
D.32
6(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()
A.6
B.12
C.18
D.42
7(2023·全国高考真题)已知a n
为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.
【规律方法】
1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)
求解.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,a n,q,n,S n，知其中三个就能求另外两个，体现了
用方程的思想解决问题.
3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.
热点三等差数列与等比数列的综合计算
8(2019·北京·高考真题)设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
9(2022·全国·统考高考真题)记S n为数列a n
的前n项和．已知2S n
n
+n=2a n+1．
(1)证明：a n
是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．
10(2023·天津·统考高考真题)已知a n
是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．
(1)求a n
的通项公式和
2n-1
i=2n-1
a i ．
(2)已知b n
为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，
(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；
(Ⅱ)求b n 的通项公式及其前n 项和．
热点四数列与函数的交汇
11(2018·浙江·高考真题)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)．若a 1>1，则A.a 1<a 3,a 2<a 4
B.a 1>a 3,a 2<a 4
C.a 1<a 3,a 2>a 4
D.a 1>a 3,a 2>a 4
12(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，
古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y =1.1x ，第n 根弦(n ∈N ，从左数首根弦在y 轴
上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线
l ：y =x +1交于点A n x n ,y n 和B n x n
,y n
，
则20
n =0
y n y n
=
.
(参考数据：取1.122=8.14.)
13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n
+2,n =2k ,k ∈N ∗
.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2
，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <1
2.
14(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x ,x ≠1
2-1,x =1
2
的图象上的任意
两点，点M 在直线x =
1
2
上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；
(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n
，设a n =2S
n
，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <1
2
成立，求c 和m 的值；
热点五数列与不等式交汇
15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13
a 2n n ∈N ∗
，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.7
2
<100a 100<4
16(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，
在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为1
2
的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分
别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操
作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥
2023
2024
，则n 的最小值是()
A.9
B.10
C.11
D.12
17(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *
(1)求a n 的通项公式，
(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <1
2
.
18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13
的等差数列．
(1)求a n 的通项公式；
(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1
a n
<2．
19(2021·全国·统考高考真题)设a n 是首项为1的等比数列，数列b n 满足b n =na n
3
．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．
(1)求a n 和b n 的通项公式；
(2)记S n 和T n 分别为a n 和b n 的前n 项和．证明：T n <
S n
2
．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n 与b n 的前n 项和分别为A n 和B n ，
且对任意n ∈N *，a n +1-a n =3
2b n +1-b n 恒成立.
(1)若A n =3n 2+3n
2
，b 1=2，求B n ；
(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<1
3
恒成立，求正整数b 1的最小值.
21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1
a n a n +2
,n 为奇数b n
,n 为偶数
.
(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2n
i =1c i ≥
133
.热点六数列与解析几何交汇
22(2022·全国·统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，
AA ,BB ,CC ,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举，
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