如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。
2023年新高考I 卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A 版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。
基本原理
虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于
整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β
（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位. 若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：
)|()()|()()(1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P
另一方面，由于αβ==+==+−==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：
11−+⋅+⋅=i i i P P P βα.
进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：
2024届高考数学专项马尔科夫链（与数列结合的
概率递推问题）含答案
11+−++=i i i i cP bP aP P
2023·新高考Ⅰ卷T21
1．乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无
论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则112019高考数学答案
n n
i i i i E X q == = ∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．
2019·全国Ⅰ卷
2．为某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .
（1）求X 的分布列.
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)0,1,2,,8(i p i =
⋅⋅⋅表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11()127i i i i p ap bp cp i ==++…－＋，
，，，其中)1(a P X ==－，(0)b P X == (1)c P
X ==. 假设0.5α=，0.8β=. ①证明：1)0{,1,2,,}7(i i p p i
−=⋅⋅⋅＋为等比数列； ②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.
课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P91
3．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率．
重点题型·归类精讲
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