绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题目时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。1．设3i
12i
z    ，则z =
A ．2
B C D ．1
2．已知集合      1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B    ，，，则U B A  ∩ðA ．
1,6B ．
1,7C ．
6,7D ．
1,6,73．已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c    ，则
A ．a b c
B ．a c b
C ．c a b
D ．b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
2019高考数学答案12
（
51
2
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
51
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是
A ．165cm
B ．175cm
C ．185cm
D ．190cm
5．函数f (x )=
2
sin cos x x
x x
在[—π，π]的图像大致为A ．
B
．
C
．D ．
6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
7．tan255°=
A ．－2
B ．－
C ．2
D ．
8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ） b ，则a 与b 的夹角为
A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
9．如图是求1
1
2122
的程序框图，图中空白框中应填入
A ．A =
12A
B ．A =12A
C ．A =
112A
D ．A =112A
10．双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为
A ．2sin40°
B ．2cos40°
C ．
1
sin50
D ．
1cos50
11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－
14
，
则
b c
=
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F  ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若
22||2||AF F B  ，1||||AB BF  ，则C 的方程为A ．2
21
2
x y  B ．22
1
32
x y  C ．22
1
43
x y  D ．22
1
54
x y  二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2)3(e x y x x  在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133
14
a S  ，，则S 4=___________．15．函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x
的最小值为___________．16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均
P 到平面ABC 的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
男顾客4010
女顾客3020
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
．
P（K2≥k）0.0500.0100.001
k  3.841  6.63510.828
18．（12分）
记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．20．（12分）
已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．21.（12分）
已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；
（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t
，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的
极坐标方程为
2cos sin 110      ．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．