数学试卷
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B = ()
A .{}1,0,1-
B .{}
0,1C .{}
1,1-D .{}0,1,22.若(1i)2i z +=，则=z ()
A .1i
--B .1+i
-C .1i
-D .1+i
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()
A .0.5
B .0.6
C .0.7
D .0.8
4.()
()4
2
121++x x 的展开式中3x 的系数为
(
)
A .12
B .16
C .20
D .24
5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134=+a a a ，则3=
a (
)
A .16
B .8
C .4
D .2
6.已知曲线e ln x y a x x =+在点1（，）ae 处的切线方程为2=+y x b ，则(
)
A.–1==，a e b
B.1
==，a e b C.–11
==，a e b D.–1
1==-a e b ，7.函数3
222
x
x
x y -=+在[]6,6-的图象大致为(
)
A
.B
.
C .
D
.
8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，⊥平面平面ECD ABCD ，M 是线段ED 的中点，则
(
)
A.=BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线
B.≠BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线
C.=BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线
D.≠BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线
9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于
(
)
毕业学校_____________
姓名________________考生号_____________________________________________
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效
----------------
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A.4
122-
B.5
122-
C.6
122-
D.7
122-
10.双曲线C ：22
4
2x y -
=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若
=PO PF ，则
PFO
△的面积为
(
)
A .
32
4B .
322
C .22
D .3211.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
(
)
A .2332
3log 1224f
f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
＞＞B .23323124l 2og f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭＞＞C .23332124log 2f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭＞＞D .2332
3lo 122g 4f f f
--⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＞＞12.设函数()si 5n f x x ωπ+⎛
⎫= ⎪⎝⎭
()0ω＞，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增④ω的取值范围是[1229
510
，
)
其中所有正确结论的编号是(
)
A .①④
B .②③
C .①②③
D .①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a ，b 为单位向量，且·0=a b
，若2=-c a ，则cos ,=a c .
14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S =.
15.设12F F ，为椭圆C :
22
+13620
x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为
.
16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
1111ABCD A B C D -挖去四棱锥-O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中
心，，，，E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为30.9 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为
g.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）
数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）
溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方
法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表）.
18.（12分）
ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin
sin 2
A C
a b A +=.（1）求B ；
（2）若ABC △为锐角三角形，且1=c ，求ABC △面积的取值范围.
19.（12分）
图1是由矩形ADEB ，Rt ABC △和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
1=，AB 260==∠=︒，BE BF FBC .将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结
DG ，如图2.
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且⊥平面平面ABC BCGE ；（2）求图2中的二面角--B CG A 的大小
.
20.（12分）
已知函数32()2=-+f x x ax b .（1）讨论()f x 的单调性；
（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，
求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效
----------------毕业学校_____________
姓名________________考生号_____________________________________________
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21.（12分）
已知曲线C ：2
2
=x y ，D 为直线12=-y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分
别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E 205⎛⎫
⎪⎝⎭
，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。
22.[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A
，)4B π
，)4
C 3π
，
(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC
，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
2019高考数学答案（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M
上，且||OP =
P 的极
坐标
.
23.[选修4–5：不等式选讲]（10分）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.
（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥.
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理科数学答案解析
一、选择题1．【答案】A
【解析】集合||1
1B x x =- ，则|1,0,1|A B =- ，故选A ．【考点】集合的交运算，解一元二次不等式
【考查能力】运算求解2．【答案】D 【解析】 2 i 2i(1-i)2+2i
1i 1+i (1+i)(1-i)2
z =
===+，故选D ．【考点】复数的四则运算
【考查能力】运算求解3．【答案】C
【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用书思图表示如下：
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70
0.7100
=，故选B ．
【考点】韦恩图的应用与概率问题【考查能力】阅读理解4．【答案】B
【解析】展开式中含3x 的项可以由“1与3x ”和“32x 与x ”的乘积组成，则3x 的系数
314424812C C +=+=，故选B ．
【考点】二项展开式通项公式的应用5．【答案】C
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由53134a a a =+，得4
2
34q q =+，得2
4q =，
因为数列
{}
n a 的各项均为正数，所以
2q =，又
()231112341(12=48)15a a q q a a a a q +++=+++++=+，所以11a =，所以2314a a q ==．
故选C ．
【考点】等比数列通项公式的应用【考查能力】运算求解6．【答案】D 【解析】因为e ln 1x
y a x '
=++，所以1
1x y
ae '==+，所以曲线在点()1ae ，出的切线
方程为 ( 1)(1)y a c a e x -=+-，即(1) 1y ae x =+-，所以12
1ae b +=⎧⎨
=-⎩
，解得
1
1
a e
b -⎧=⎨
=-⎩．故选D ．【考点】导数的几何意义7．【答案】B
【解析】因为32()22x x x f x -=+，所以3
2()()22x x
x f x f x ---==-+，且[6,6]x ∈-，所以
函数3222x x x y -=+为奇函数，排除C ；当0x ＞时；3
202()2
x x
f x x -+=恒成立，排除D ；4426412812816
(4)7.97122257
1616
f -⨯⨯===≈++，排除A ．故选B ．
【考点】函数图像与性质的应用8．【答案】B
【解析】取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为ECD △为正三角形，所以EO CD ⊥，
又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD 平面ABCD CD =，所以EO ⊥平面
ABCD ．设正方形ABCD 的边长为2，
则EO =，1ON =，所以2224EN EO ON =+=．得2EN =．过M 作CD 的重线，垂足为P ，连接BP ，
则32MP =，32CP =，所以2
2
2222
332722BM MP BP ⎛⎛⎫=+=++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
．得BM =BM EN ≠．连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ,MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交
直线，故选B ．
【考点】空间线线位置关系【考查能力】空间想象9．【答案】C
【解析】执行程序框图1x =,0s =，011s =+=,12x =，不满足1
100
x ε=＜，所以1111222s =+
=-，14x =，不满足1
100x ε=＜所以211112242s =++=-，18x =，不满足1
100x ε=
＜所以31111122482s =+++=-，116x =，不满足1
100x ε=
＜所以41111112248162s =++++=-，132x =
，不满足1
100
x ε=＜
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