2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合}2
42{60{}M x x N x x x =−<<=−−<，，则M
N =
A ．}{43x x −<<
B ．}42{x x −<<−
C ．}{22x x −<<
D ．}{23x x <<
2．设复数z 满足=1i z −，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=
B ．221(1)x y +=−
C ．22(1)1y x +−=
D ．22(+1)1y x +=
3．已知0.2
0.3
2
log 0.220.2a b c ===，，，则
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
512−（
51
2
−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
51
2
−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A ．165 cm
B ．175 cm
C ．185 cm
D ．190 cm
5．函数f (x )=2
sin cos ++x x
x x 在[,]−ππ的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．
516
B ．
1132
C ．
2132
D ．
1116
7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()−a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
8．如图是求112122
+
+的程序框图，图中空白框中应填入
A ．A =
1
2A
+ B ．A =12A
+
C ．A =
1
12A
+
D ．A =112A
+
9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则
A ．25n a n =−
B ． 310n a n =−
C ．2
2019高考数学答案28n S n n =−
D ．2
122
n S n n =
− 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F −()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，
1||||AB BF =，则C 的方程为
A ．2
212x y +=
B ．22
132x y +=
C ．22
143x y +=
D ．22
154
x y +=
11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数
②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]−ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F
分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π
B ．64π
C ．62π
D ．6π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线
分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)
ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C −=−．
（1）求A ；
（2）若22a b c +=，求sin C ． 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 20．（12分）
已知函数()sin ln(1)f x x x =−+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2
π−存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 21．（12分）
为某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药
．一轮的结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,
,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp −+=++(1,2,
,7)i =，其中
(1)a P X ==−，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．
(i)证明：1{}i i p p +−(0,1,2,
,7)i =为等比数列；
(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧−=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．
发布评论