2019年数学高考试卷(及答案)
一、选择题
1．如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则
周长的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 2．若圆
与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11
3．2532()x x -
展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40
A ．10
B ．11
C ．12
D ．15 5．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．26D ．426．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{1,3,5,6} D ．{1,2,3,4}
7．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
8．下列说法正确的是( )
A ．22a b ac bc >⇒>
B ．22a b a b >⇒>
C ．33a b a b >⇒>
D ．22a b a b >⇒> 9．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）
A 2
B ．1
C 2
D ．2 10．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ）
A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．43π
2019高考数学答案B ．83π
C ．163π
D ．203
π 二、填空题
13．若不等式|3|4x b -<；的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是
14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．
15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.
16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为
23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .
17．37
1()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）
18．如图，用6种不同的颜给图中的4个格子涂，每个格子涂一种颜，要求最多使用3种颜且相邻的两个格子颜不同，则不同的涂方法共有 种（用数字作答）．
19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲
20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是
三、解答题
21．
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得
2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P （X =2）；
（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.
22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月用水量的中位数.
23．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值；
（2）若212z z =，求m ，n 的值.
24．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <；的解集是0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为g t ，求g t 的表达式.
25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2）记,,2n n n a C n b *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N
26．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出．
【详解】
抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，
圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），
与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2，
∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，
∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，
∵1＜y B ＜3，
∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．C
解析：C
【解析】
试题分析：因为()()22
226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以250m ->25m ⇒<；且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ()()223040125m -+-=-9m ⇒=，故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项，然后求出常数项的值
【详解】
2532()x x - 展开式的通项公式为:53251()2()r r r r T C x x
-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r
，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
2a b +≤
转化为指数运算即可求解。 【详解】
由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=（当且仅当32
a b ==
等号成立） 故答案为：D
【点睛】
本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。 6．A
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