华北水利水电大学数学系历年真题是一个非常重要的备考资料，通过考研数学的历年真题可以更好的了解考试形式和知识点的分布，从而更好地备考数学。本文为大家整理了华北水利水电大学数学系历年真题的相关参考内容，希望能够对大家备考有所帮助。
华北水利水电大学数学系历年真题主要包括高等数学和线性代数两部分内容，下面我们将分别对这两部分内容进行讲解。
高等数学
高等数学部分主要涉及微积分、多元函数、级数、常微分方程等知识点，下面我们将从这几个方面进行讲解。
微积分
微积分是考研数学的重点，在历年真题中所占比例较大。微积分包括导数、积分、微分方程等知识点，下面我们来看一些历年真题中的例题。
1. 设函数 $f(x)$ 有二阶导数 $f''(x)$，且 $f''(x)+a f'(x)+b f(x)=0(a,b\in R)$，若 $f(x)$ 在点 $x=0$ 与 $x=\pi/2$ 处的值均为 $0$，求 $f(x)$。
2. 若 $f(x)$ 的导数满足 $f'(x)=f(x)+\int_0^x f(t) dt$，且 $f(0)=0$，求 $f(1)$。
3. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$，证明：存在 $x_0 \in (0,1)$，使 $f'(x_0)=\dfrac{1}{x_0 f(x_0)}$。
4. 已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有二阶导数，且 $f(a)=f(b)=0$，证明：存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $|f''(\xi)| \geq \dfrac{4}{(b-a)^2}|f(\dfrac{a+b}{2})|$。
5. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，$f(0)=0$，$f'(1)=1$，证明：存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $|f''(\xi)+2 f'(\xi)^2+2 f(\xi)f''(\xi)| \geq \dfrac{4}{3}$。
多元函数
多元函数是指依赖于多个自变量的函数，其重要性在于理论上或应用的需要。多元函数在考研数学中占据了不少的比例，下面我们来看一些历年真题中的例题。
1. 设 $f(x,y)$ 在区域 $D\subset R^2$ 上连续，在 $D$ 中部分偏导数存在且连续，且对于任意 $(x,y)\in D$，有 $\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)>\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)$，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上取到最大值和最小值。
2. 已知函数 $z=f(x,y)$，且 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可导，$x=x(t),y=y(t)$ 均连续可导，且 $x(0)=x_0,y(0)=y_0$，试求 $z$ 对 $t$ 的全导数 $\dfrac{dz}{dt}$。
3. 设 $f(x,y)$ 是具有一阶连续偏导数的二元函数，$u_0$ 和 $v_0$ 是常数，$f(u_0,v_0)=0$，且满足方程 $\dfrac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\dfrac{\partial f}{\partial y} \sin \theta=0$，其中 $\theta$ 为任意实数，证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的任意一个二阶混合偏导数都能表示为其他偏导数的线性组合。
级数
级数是指一系列数的求和，包括等比数列、等差数列、幂级数等，级数在考研数学中也占据了一定比例，下面我们来看一些历年真题中的例题。考研历年真题库
1. 设 $a_n,b_n,c_n$ 均为正数，且 $\dfrac{a_n^2-3 b_n^2}{c_n}=\dfrac{1}{n}$，若 $\sum_{
n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，证明 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛。
2. 已知不等式 $\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n+1]{n}$，证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}$ 发散。
3. 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n-1)(2n+1)}{n 3^n}$。
常微分方程
常微分方程是指仅包含一个自变量的方程，常微分方程在考研数学中也占有一定比例，下面我们来看一些历年真题中的例题。
1. 求解方程 $y''+6y'+8y=\cos x$，其中 $y(0)=1,y'(0)=0$。
2. 求解方程 $y'=\dfrac{x y}{1+x^2}-\dfrac{x^2 y^2}{(1+x^2)^2}$。
3. 求微分方程 $xy''+y'=0$ 的通解，且满足 $y(\pi)=\pi,y'(\pi)=1$。
线性代数
线性代数是一门重要的数学基础课程，其涉及到线性空间、矩阵、特征值、特征向量等知识点，下面我们分别对这些知识点进行讲解。
1. 矩阵的秩
矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大数目，在考研数学中占据了一定比例，下面我们来看一些历年真题中的例题。
1. 计算矩阵 $\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\-1 & 2 & -2 \\1 & -2 & 3\end{bmatrix}$ 的秩。
2. 计算行列式 $\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\a_1 & -a_2 & a_3 & -a_4 \\a_1 & a_2 & -a_3 & -a_4 \\a_1 & -a_2 & -a_3 & a_4\end{matrix}\right|$。
2. 特征值与特征向量
特征值与特征向量是线性代数中一项重要的知识，它们在矩阵计算和统计学中都有广泛应用，在考研数学中也占据了一定比例，下面我们来看一些历年真题中的例题。
1. 求矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ 的特征值与特征向
量。
2. 矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 2 & 1 \\1 & 1 & 1\end{bmatrix}$ 的特征值为 $\lambda_1=3,\lambda_2=1,\lambda_3=0$，对应的特征向量分别为 $\begin{bmatrix}1 \\1 \\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1 \\1 \\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 \\-2 \\1\end{bmatrix}$，求 $A^{100}$。
3. 证明：矩阵 $A$ 和 $A^T A$ 的特征值相同，且对应的特征向量成正交关系。
3. 线性方程组
线性方程组是指一组关于未知数的线性方程，其求解是线性代数中的一个主题，也是考研数学中的重点。下面我们来看一些历年真题中的例题。
1. 解线性方程组 $\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=1 \\4x_1-x_2+3x_3=2 \\-x_1+x_2+2x_3=-1\end{cases}$。
2. 讨论线性方程组 $\begin{cases}x_1-x_2+x_3=0 \\x_1-x_3=0 \\x_2-x_3=0\end{cases}$ 的解的情况。
3. 如下矩阵 $A = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\2 & 4 & 1 & 1 \\3 & 6 & 0 & 5 \\1 & 2 & 4 & -1 \end{bmatrix}$，试求不齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解，其中 $b = \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}^T$。
发布评论