山东大学2000-2007年硕士研究生入学考试试题（数学分析）
2000年试题 一、 填空。
1. 222
333
12(1)lim[]?n n n n n →∞-+++
= 2.1
0(1)
lim
?x
x e x x
→-+=
3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<；则22?d y
dx =
4.21
21[ln(1)]
?1x x x dx x
-++=+⎰ 5.
设r =则
2216
[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰
6.设Γ表示椭圆22
149
x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰ 7.级数1
3(2)(1)n n
n n x n ∞
=+-+∑的收敛范围为？
8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、
1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),x
a F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]a
b 上连续。
2.求2
cos(2)(x e
x dx αα∞
-⎰为实数）
。 3.试求级数21
n n n x ∞
=∑的和函数。
三、任选两题。
1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21
()().()
b
b a a
f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰
2.求20
cos sin n x nxdx π
⎰(1n ≥为正整数）
3.设(),()f x g x 在[0,)+∞上可微且满足lim
(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞
→∞
=<<+∞≠
→∞
2001年试题
一、1．220
cos 21
lim
?sin x x x x
→-=+
2.2!
lim ?n n n n n
→∞=
3.设ln(),u x xy =则22?u
x
∂=∂
40
?
x π
=⎰.
5.交换积分顺序2
1
20
(,)?x x
dx f x y dy -=⎰⎰
6.(3,4)
(0,1)
?xdx ydy -+=⎰
7.1
(1)n n n n x ∞
=+∑的和函数为？
8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、
1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。
2.计算定积分2
0.x e dx +∞
-⎰
山东比较容易考的研究生学校3.叙述并证明连续函数的中间值定理。 三、本题任选两题。
1.设(,)f x y 处处具有连续的一阶偏导数且(1,0)(1,0).f f =-试证在单位圆上存在两点11(,)x y 和22(,)x y 满足下列两式：(,)(,)0,1,
2.i y i i i x i i x f x y y f x y i ''-== 2.设()f x 在[0,)+∞上连续且0,f ≥如果22
2
()()()()
()
(),f x f y f z x yf z y zf x z xf y
≤++求证：
5
2
().a
f x dx a ≤⎰
3.设()f x 在(0,)+∞上连续可微，且()
lim
0.x f x x
→+∞
=求证：存在序列{}n x 使得n x →+∞且()0.n f x '→
2002年试题
一、1. ?n =
2. 1
00sin lim (
)?x x x x
→+=
3.设2
1(1)()(1),(1)0,x f x e
x f -
-=≠=求(1)?f '=
4.设3
3
cos ,sin ,x a t y a t ==求22?d y
dx
=
5.设()arctan ,f x x =求(21)(0)?n f +=
6. 3
()(),C
x y dx x y dy -++⎰
其中22:4C x y +=（正向）。 7．7(cos )?x x x e e x dx π
π
-+=⎰
8.求3
(1)
V
dxdydz
x y z +++⎰⎰⎰
的值，其中V 是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围成的四面体。 二、1. 0
(0)ax bx
e e dx b a x
--+∞
->>⎰
。 2.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导且()0,f x ''≥证明：对任何12,[,],x x a b ∈有
1212()()
(
).22
x x f x f x f ++≤ 3.设有界函数()f x 在[,]a b 上的不连续点为1{}n n x ∞=，
且l i m n n x →∞
存在，证明：()f x 在[,]a b 上可积。 三、1.设0,b a ≥≥试证：
sin 3.b
a
x
dx x
≤⎰
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >证明：21
()().()
b
b
a
a
f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰
3. .设()f x 在[,]a b 上可导，且()().f a f b ''<；证明：对任何((),()),r f a f b ''∈存在0(,),x a b ∈使得0().f x r '= 2003年试题
1. 设()f x 在(,)a b 上可微，()f x '在(,)a b 上单调，求证：()f x '在(,)a b 上连续。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，1
[,],(())n
n x a b f x ∞
=∀∈∑收敛，求证：1
(())n n f x ∞
=∑在[,]a b 上一致收敛。
3. 设()f x 在圆盘221x y +≤上有连续的偏导数，且()f x 在其边界上为0，求证：
2
2
01
(0,0)lim ,2x y S f x f y f dxdy x y
ε
επ
→+=-
+⎰⎰
其中222{(,):1}.S x y x y εε=≤+≤
4. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，且()()(),n f x x n =→∞ 证明：当1k n ≥+时，
(),..lim ()0.k x x s t f x →+∞
∃=
5. 设0
()sin ,n f x tdt π
=⎰求证：当n 为奇数时，()f x 是以2π为周期的周期函数；当n 为偶数时，
()f x 是一线性函数与一以2π为周期的周期函数之和。
6. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微；(0)(0)0,lim ()0.n x f f f x →+∞
'≥=证明：
()11{},,0,..
()0.n n n n n n x n x x s t f x ∞=+∃∀≤≤= 7. 设()f x 在(,)a +∞上连续，且lim sin(()) 1.x f x →+∞
=求证：lim ().x f x →∞
∃
2004年试题
1. 叙述数列{}n a 发散的定义，并证明数列{cos }n 发散。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,],x a b ∈定义()inf ().a t x
m x f t ≤≤=证明：设()m x 在[,]a b 上连续。
3. 设()f x 在(,)c -∞内可导，且lim ()lim ().x x c f x f x A →-∞
→-
==求证：存在一点(,)..()0.c s t f ξξ'∈-∞=
4. 设()f x 在(0,1]上连续，可导，并且3
2
0lim ().x x f x →+
'∃求证： ()f x 在(0,1]上一致连续。
5. 设0,1,2,3,n a n >= 且有1lim (1)0,n
n n a n c a →∞+-=>求证：11
(1)n n n a ∞
+=-∑收敛。
6. 求级数21
1
2n n n ∞
=++∑的和。
7. 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且有[0,1]1
(0)(1)0,min ().2
x f f f x ∈===-证明：
(0,1),..s t f ξξ''∃∈≥
8. 证明：对于任意2
()0
0,sin x e tdx αα+∞
-+>⎰关于(0,)t ∈+∞一致收敛。
9. 设()f x 在[,][,]a b c d ⨯上连续，函数列()n x ϕ在[,]a b 上一致收敛，且(),n a x b ϕ≤≤函数列
()n x ψ在[,]a b 上一致收敛，且(),n c x d ψ≤≤求证：函数列((),())n n n F f x x ϕψ=在[,]a b 上一致收敛。
10.设()f x 在[0,1]上可积，且在1x =处连续，证明：1
0lim ()(1).n n x f x dx f →∞=⎰
11.设33()ij A a ⨯=是实对称正定矩阵， Ω是椭球体：3
,1
1,ij i j i j a x x =≤∑求Ω的体积。
12.设()ij a 是n 阶实对称方阵，定义n
R 上的齐二次函数,1
().n
ij i j i j h x a x x ==∑证明：函数()h x 在条
件21
1n
i x =∑下的最小值是A 的最小特征值。
13.计算积分：222222()()(),I y z dx z x dy x y dz Γ
=-+-+-⎰其中Γ为平面3
2
x y z ++=
和立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的交线，站在第一象限3
2
x y z ++>
处看Γ为逆时针方向。 2005年试题
一、1.求极限122
2lim
n
n a a na n →∞++ ，其中lim .n n a a →∞=
2.求极限2
1lim (1).x x x e x
-→+∞+
3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。
4.计算积分：2
1
,D
dxdy y x
+⎰⎰
其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。 5.计算：2222,:21C ydx xdy
I C x y x y
-+=+=+⎰
方向为逆时针。 6.设0,0,a b >>证明：11(
)().1b b a a b b
++≥+ 二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且
2[,]
()0,a b f x dx =⎰
证明: ()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。
四、
设22222
0(,)0,0
x y f x y x y +>=+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。
五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：2
()(,),..
()2()()().24
a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+= 六、()f x 在
R 上二
次可导，,()0,x f x ''∀∈>R 又
00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞
→+∞
''∃∈<=<=>R 证明：()f x 在R 上恰有两个零点。
七、设()f x 和()g x 在[,]a b 内可积，证明：对[,]a b 的任意分割
0121:,,[,],0,1,2,1.n
i i i i
a x x x x
b x x i n ξη+∆=<
<<<
=∀∈=- 有
10
lim ()()()().n b
i i i a
i f g x f x g x dx ξη-∆→=∆=∑⎰
八、求级数：0
1
(1).31
n
n n +∞
=-+∑
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