2021年湖南省跨地区普通高等学校对口招生三轮联考
科目：数学(对口)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名､准考证号和科目.
（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
（2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑墨水签字笔书写，否则作答无效；
（3）请勿折叠答题卡.保持字体工整､笔迹清晰､卡面清洁.
3.本试题卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
姓名__________.
准考证号__________.
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机密★启用前
2021年湖南省跨地区普通高等学校对口招生三轮联考数学
本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页时量120分钟.满分120分.
一､选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{1},{12}A x
x B x x =>=-<<∣∣，则A B ⋃=（）A.{1}x
x >-∣ B.{2}x x <∣C.{11}x x -<<∣ D.{12}x
x <<∣2.“4x =”是“216x =”的（
）A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.下列函数在其定义域上是增函数的是（
）
A.2
y x = B.e x y =C.0.5log y x = D.sin y x
=4.已知()tan 2x π+=，则
sin cos 2sin cos x x x x +=-（）A.1 B.1
5 C.1
4- D.15
-
5.不等式123x -≤的解集为（
）A.[]
1,2- B.][()
,12,∞∞--⋃+C.[)1,∞-+ D.(],2∞-6.已知函数()()()()1lg
,,11,,1x f x x f a b x ∞∞+=∈--⋃+=-，则()f a -=（）A.b B.b
- C.1b D.1b
-7.已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为160-，则实数a =（）A.2 B.-2 C.8 D.-8
8.已知直线,a b 和平面,αβ，则下列命题正确的是（
）A.若//,a b b α⊂，则//a α
B.若,a b b α⊥⊂，则a α
⊥C.若//,a αβα⊂，则//a β
湖南省招生信息网D.若,a αβα⊥⊂，则a β
⊥
9.已知函数()3sin 4cos f x x x =+的图像与直线y m =恒有公共点，则实数m 的取值范围是（）
A.[]7,7-
B.[]5,5-
C.[]4,4-
D.[]3,3-10.已知直线210x y +-=与圆22(1)(2)4x y -++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）
A.230x y ++=
B.250
x y -+=C.230
x y +-= D.250x y --=
二､填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11.已知向量()()1,2,,2a b m ==-，且a b ⊥，则实数m =__________.
12.已知1234,,,x x x x 的平均数为4，则12341,2,3,4x x x x ++++的平均数为__________.
13.已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前6项和6S =__________.
14.已知二面角l αβ--的大小为140，直线,a b 分别在平面,αβ内且都垂直于棱l ，则a 与b 所成角的大小为__________.
15.函数()2
sin 4cos f x x x =-的最大值为__________.三､解答题(本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题.共60分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分10分)
在等差数列{}n a 中，已知239,7.
a a =-=-（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足n n S a >的n 的最小值.
17.(本小题满分12分)
在ABC 中，BC 的中点为D ，设向量,.
AB a AC b ==（1）用,a b 表示向量AD ；
（2）若向量,a b 满足3,2,,60a b a b ︒
==〈〉=，求AB AD ⋅的值.
18.(本小题满分10分)
已知盒中有形状､大小都相同的3个黑球和1个白球，每次从中取1个球，取到黑球记1分，取到白球记2分，有放回地抽取3次，用随机变量ξ表示取3次所得的分数之和，求：
（1）3次都取到黑球的概率；
（2）随机变量ξ的分布列.
19.(本小题满分10分)
已知函数()(0x f x a a =>且1a ≠)的图像过点()3,8A -.（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[],2m m 上的最大值是最小值的4倍，求实数m 的值.
20.(本小题满分10分)
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的其中一个焦点为)，一条渐近线方程为20x y -=（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）已知倾斜角为
34
π的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程.选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号.
21.(本小题满分10分)
已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且60.a B =
=（1）若75C =，求b 的值；
（2）若b =ABC 的面积.
22.(本小题满分10分)
某公司计划2021年在甲､乙两个网络平台上投放总时间不超过300天的广告，广告总费用不超过90万元，已知甲､乙两个网络平台的广告收费标准分别为5000元/天和2000元/天，广告每天能给公司带来的收益分别为3万元和2万元该公司如何分配在甲､乙两个网络平台上的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
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