学考查询入口 《义务教育数学课程标准》（2011年）指出：“分类是探索数学研究对象性质的有效途径，特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。”本文通过对一道考题的测试结果进行统计，分析学生分类讨论意识的现状。
再现原题
笔者所在学校是一所省级重点完全中学，生源整体较好，初三年级共有学生650余人.结
合承担的市级小课题“初中生数学分类讨论能力的现状与对策研究”的进度，笔者在一模数学考试中设置了一道考查分类讨论思想的题目，以期通过答题情况来管窥学生分类讨论意识的现状。
经过层层筛选和慎重考虑，以2012年枣庄市中考数学第25题为原型进行改编，将其设置为全卷的倒数第二道解答题。
例题：如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（-1，0）。B点在抛物线的图象上，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为-3.求证：△BDC≌△COA；求BC所在直线的函数关系式；抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：（1）略；（2）；
（3）存在，若，则；
若，则；
若，则，.
全等三角形模型十分常见；用待定系数法求直线的解析式非常基本；无论是“是否存在”的探究式设问形式，还是有关直角三角形的分类讨论问题的考查内容，对学生来说也都不陌生。其中，前两问是基础题目，一方面为保证学生要在此题上得到一定的分数，另一方面也为有一定难度的第三个问题做思路和求解上的铺垫；第三个问题求解时需要分类讨论，分类的标准是显然的，答案个数的多少与相应分数的高低从一定程度上即可反映学生分类讨论意识的强弱。
另外，制定评分标准时，前两个问题为3分，第三个问题是6分，为引导学生重视分类讨论思想和体现人文关怀，第三个问题的6分又细致如下：有一个正确坐标给2分，有2个正确坐标给3分，有3个正确坐标给5分，有4个正确坐标（即全部写对）给6分；若从卷面显见其分3种情况讨论，不论最后答案是否正确，都给1分（满分除外）；而写错一个坐标，至少扣掉1分。
结果及分析
据统计，实际参加一模数学考试有639人，该题平均得分6.62分，以下是具体情况及其分析。
由表1可以看到，639人中，有179人未做第三个题，有50人看错题目，有410人做过第三个问题。为突出研究主题，忽略未做及看错题的229人。从剩余的410人中来看，学生的分类讨论意识现状，由表2可以看到，只讨论一种情况的约占四分之一，表明这部分学生缺失分类讨论的意识；而讨论两种情况的接近二分之一，表明这部分学生已有一定的分类讨论意识，却考虑不够周全，分类讨论的能力有待提高；有28.54%的人完整地讨论了三种情况，表明这部分学生已经具有较强的分类讨论意识和一定的分类讨论能力。
第三个问题分别以C、A、P为直角顶点进行讨论求解时，以C为直角顶点的情况容易上手也最为简单，以P为直角顶点的情况不太好想也较为复杂，表3也反映了这一客观事实。
由上分析可知，讨论以P为直角顶点的情况是一个难点，那么学生在具体求解时都是怎么做的呢？这里，以得11分（因计算失误或符号问题写错一个坐标）、12分的37人为样本调查学生的解题方法，见表4。
由表4不难发现，优秀学生的解法呈现出多样性，主要集中在应用两点间距离公式和构造圆（利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”与圆也密切相关）的方法上，的确令人倍感鼓舞。
引发思考
学生的分类讨论意识需加强 该题第三个问题无论从问题情境还是求解策略，都不应该成为“难题”，可639人中仍有179人“无动于衷”，仍有50人连题目都没有弄清楚，仍有98人仅讨论了一种情况。若将此三类都理解为学生缺乏分类讨论的意识，则全年级缺乏分类讨论意识的比率高达51.17%，这是令人深思的。
众所周知，分类讨论思想是高中数学中最为重要的数学思想之一，而初中数学的诸多基础知识和例习题均与分类讨论密切相关。在实际教学中，如何利用好这些素材，并系统地渗透分类讨论思想，以提高学生的分类讨论意识和能力，是一个非常有价值的研究课题。
学生的数学思维品质亟待优化 求解第三个问题时，延长BC与对称轴相交求出P1是容易的，得到P1后根据对称求出P2也是容易的，即在较强的分类讨论意识下，本题得到10分应该是容易的。可事实上，由表1知，本题得分大于或等于10分的仅有80人，约占总人数的12.52%，所有预设中的“容易”其实都“不容易”。学生在解决此题过程中，暴露出思维上的诸多缺陷：入手就讨论以P为直角顶点的情况（有15人），书写过程时并未按照先讨论C、后讨论A、最后讨论P的从简单到复杂的顺序，反映出思维上的杂乱无章；195人中，有184人
已讨论了分别以C、A为直角顶点的两种情况，按理说接下来再考虑以P为直角顶点的情况是很自然的，可见学生思维的周密性并不乐观；由表3可知，已有143人意识到存在以P为直角顶点的情况，却仅有四分之一多的学生突破了“难关”，反映了学生分析问题与解决问题的能力还有待提高，数学思维能力尚较肤浅；特别需要提及的是，在求解分别以C、A为直角顶点的情况时，有相当一部分学生从勾股定理入手直接套用两点间距离公式，大部分都因公式记忆错误，或公式理解不到位（表现在符号上），或计算繁琐而得不出正确结果，不会具体问题具体分析，特殊情况特殊处理，不能根据问题求解的状况及时调整求解策略，这反映了思维定势对学生的消极影响。
概言之，仅从这一道题的答题情况来看，学生数学思维的有序性、周密性、深刻性、灵活性都亟待提高，需要教师在平时的教学中从优化学生的思维品质入手培养和提高学生的数学能力。
课外拓展意见 实际上，两点间距离公式、互相垂直的两直线的斜率之积为-1以及圆的标准方程等，都是高中数学解析几何部分的内容。由表4可知，这些知识却由各种途径（教师课内渗透或课外辅导班补充等）悄然传至学生。从阅卷反馈来看，知道这些知识的人不少；
但能真正理解，并正确应用的学生却微乎其微，不但不能给学生的解题带来便利，反而影响了其实际潜能的正常发挥，更为严重的是，部分学生深感数学之繁难，不能认识数学的本来面目，甚至从此远离数学。
发布评论