2022年考研数学(一)试题分析详解
2022年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD      2022年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
11x2
（1）曲线y  的斜渐近线方程为  y x .
242x 1
【分析】此题属基此题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
f(x)x21
lim2 ，【详解】因为a=lim
x  x  2x xx2
b lim f(x) ax  lim
x
x1
，
x  2(2x 1)4
于是所求斜渐近线方程为y
11x . 24
【评注】如何求垂直渐近线、程度渐近线和斜渐近线，是基本要求，应纯熟掌握。这
里应注意两点：1）当存在程度渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）假设当x  时，极限
a lim
x
f(x)
不存在，那么应进一步讨论x  或x  的情形，即在右或左侧是否存x
在斜渐近线。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】
（2）微分方程xy  2y xlnx满足y(1)
111
的解为y xlnx x.. 939
【分析】直接套用一阶线性微分方程y  P(x)y Q(x)的通解公式：    P(x)dxP(x)dx
y e [Q(x)e dx C]，
再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为
y
于是通解为  y e
=
2
y lnx， x
xdx
2
[ lnx e
xdx
2
dx C]
12
[xlnxdx C] 2 x
111
xlnx x C2， 39x111
由y(1)  得C=0，故所求解为y xlnx x.
939
【评注】此题虽属基此题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，此题也
可如下求解：原方程可化为
xy  2xy xlnx，即  [xy]  xlnx，两边积分得
2      2
2
2
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13132
xlnxdx xlnx x C，  39
11
再代入初始条件即可得所求解为y xlnx x.
39
xy
2
完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154
x2y2z21
{1,1,1}，那么（3）设函数u(x,y,z) 1 ，单位向量n 61218 u      n
=
(1,2,3)
3. 3
【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量n {cos ,cos ,cos }的方向导数为：
u u u u cos  cos  cos  n x y z
因此，此题直接用上述公式即可.
【详解】因为
ux uy uz
，，于是所求方向导数为， x3 y6 z9
u
n
(1,2,3)
=
111111      . 33333
【评注】此题假设n={m,n,l}非单位向量，那么应先将其单位化，从而得方向余弦为：
cos
mm n l
2
2
2
,cos        nm n l
2
2
2
,cos
lm n l
2
2
2
.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.330【例12.30】
（4）设是由锥面z
x2 y2与半球面z R2 x2 y2围成的空间区域，是
的整个边界的外侧，那么  xdydz ydzdx zdxdy 2 (1
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23
)R. 2
【分析】此题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.
【详解】
xdydz ydzdx zdxdy    3dxdydz
=3.
R
2
d  4sin d  d  2 (1
2
23)R. 2
2022年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD  【评注】此题属基此题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注意计算的准确性，主要考查基本的计算能力.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.325【例12.22】
（5）设 1, 2, 3均为3维列向量，记矩阵
A ( 1, 2, 3)，
B ( 1  2  3, 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3)，假如A 1，那么B .
【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】由题设，有
B ( 1  2  3, 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3)
111
=( 1, 2, 3)123，    149
11
于是有    B A 2
3 1 2 2.
49
【评注】此题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，假设
1 a11 1 a1
2 2  a1n n，  2 a21 1 a22 2  a2n n，
m am1 1 am2 2  amn n，
a11 a
m    1, 2, , n  12
a1n
a21 am1 a22 am2  .
a2n amn
那么有        1      2
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例1.5】      （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2, ,X 中任取一个数，记为Y, 那么      P{Y 2}=      13      . 48
2022年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD      【分析】 此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】  P{Y 2}=P{X 1}P{Y 2X 1}+P{X 2}P{Y 2X 2}                    +P{X 3}P{Y 2X 3}+P{X 4}P{Y 2X 4}                    =      111113
(0  ) . 423448
【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是      考查的重点.
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.492【例1.32】      二、选择题（此题共8小题，每题4分，满分32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号
内）
（7）设函数f(x) lim x      n        3n
，那么f(x)在(  ,  )内
(A)  处处可导.                (B)  恰有一个不可导点.
(C)  恰有两个不可导点.        (D)  至少有三个不可导点.          [  C  ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】  当x 1时，f(x) lim x      n        3n
1；      当x 1时，f(x) lim 1 1；      n
当x 1时，f(x) limx(      n        3      1x      3n      1) x.      1n