2020年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合P ={x|x 2−4x >0}，Q ={x|log 2(x −1)<2}，则(∁R P)∩Q =(    )
A. [0,4]
B. [0,5)
C. (1,4]
D. [1,5)
2. 若复数z 满足(2−i)z =(1+2i)2，则|z|=(    )
A. 3
B. √5
C. 2
D. √3
3. 在△ABC 中，“AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为钝角三角形”的(    ) A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4. 已知函数y =sin(ωx −π
6)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2，则该函数图象是由y =cos2x
的图象经过怎样的变换得到？(    )
A. 向左平移π
3个单位长度    B. 向左平移π
6个单位长度 C. 向右平移π
3个单位长度
D. 向右平移π
6个单位长度
5. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清
陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形(如图)：五
块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是(    )
A. 3
8
B. 5
16
C. 7
16
D. 1
3
6. 已知sin(π
3+α)=cos(π
3−α)，则cos2α=(    )
A. 0
B. 1
C. √2
2    D. √32
7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(    )
A. 4+1
2π
B. 5+√10
2+12π C. 5+√10
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2+1+√24
π
D. 4+1+√24
π
8. (2x +1
x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中1
x 2系数为(    )
A. 56
B. 448
C. 408
D. 1792
9. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期
的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是(    )
A. 132
B. 133
C. 134
D. 135
10. 已知点(n,a n )(n ∈N ∗)在函数y =lnx 图象上，若满足S n =e a 1+e a 2+⋯+e a n ≥m 的n 的最小值为5，
则m 的取值范围是(    )
A. (10,15]
B. (−∞,15]
C. (15,21]
D. (−∞,21]
11. 已知F 1，F 2分别为双曲线
x 2a
2−
y 2b 2
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=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1(−c,0)作x 轴的垂线交双曲线
于A 、B 两点，若∠F 1AF 2的平分线过点M(−1
3c,0)，则双曲线的离心率为(    )
A. 2
B. √2
C. 3
D. √3
12. 已知方程e x−1+x =
e 2(x−1)x−ae x−1
有三个不同的根，则实数a 的取值范围为(    )
A. (−1,e)
B. (−e,1
2)
C. (−1,1)
D. (−1,1
2)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足：|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，a ⃗ 与b ⃗ 夹角为120°，则|a ⃗ +2b ⃗ |=______． 14. 已知正三棱锥P −ABC ，AB =2√3，PA =2√5，则此三棱锥外接球的半径为______． 15. 已知定义域为R 的函数f(x)=μ+2021四六级报名时间
2λe x +λe x x 2+2020sinx
2+x 2
有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，
中国海事综合服务平台app则λ−μ=______．
16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2=absinC，acosB+bsinA=c，
a=√10，则b=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n+a n−n=0(n∈N∗)．
}为等比数列；
(1)求证：数列{a n−1
2
(2)求数列{a n−n}的前n项和T n．
18.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人
民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分100分)，规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如表：
(1)试分别估计两种口罩的合格率；
东京奥运会开幕式时间(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，
江苏省公务员报名时间表2022
若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，
①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期
望；
②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长2的正方形，PA=PD=√17，E
为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH//DM，交PM于H，且FH=1
(1)证明：EF//平面PBM；
(2)设点N在线段BC上，若二面角E−DN−A为60°，求BN的长度．
20.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面
积的最大值为2√3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过定点Q(m,0)(m>2)的直线l交椭圆于不同的两点M，N，点M关于x轴的对称点为M′，试证明：直线M′N与x轴的交点S为一个定点，且|OQ|⋅|OS|=4(O为原点)．
21. 已知函数f(x)=(a +2)lnx +
2a x
−x ，
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数ℎ(x)=f(x)−2lnx 有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：f(x 1)+f(x 2)−x 1x 2>8(5ln2−2)；
(3)设a =−1，函数f(x)+2
x +x 的反函数为k(x)，令k i (x)=k[(i
n )x ]，i =1，2，…，n −1，n ∈N ∗且
n ≥2，若x ∈[−1,1]时，对任意的n ∈N ∗且n ≥2，k 1(x)k 2(x)…k n−1(x)≥1
e
m 恒成立，求m 的最小值．
22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为{x =2−1
2t,
y =1+√3
2t,
(t 为参数)． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)在(1)中，设曲线C 经过伸缩变换{x′=x
y′=√3y 得到曲线C 1，设曲线C 1上任意一点为M(x 0,y 0)，当点M
到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．