实际问题与一元二次方程（原卷）
单循环和双循环问题
1.（1）2人互赠礼物，每人要送      份礼物，共赠出    份礼物
（2）3人互赠礼物，每人要送      份礼物，共赠出    份礼物
（3）4人互赠礼物，每人要送      份礼物，共赠出    份礼物
（4）x人互赠礼物，每人要送      份礼物，共赠出    份礼物
2.（1）2人握手，每人和他人握手      次，共握手    次。
（2）3人握手，每人和他人握手      次， 共握手    次。
（3）4人握手，每人和他人握手    次， 共握手    次。
（4）x人握手，每人和他人握手      次，共握手      次。
总结：
（1）互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x（x-1）次活动；
（2）握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x人共进行了x（x-1）次活动；
（3）x人握手总次数=x人互赠总次数×
题型1：单循环和双循环问题
1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（  ） 
A．x（x﹣1）＝190    B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95    D．（x﹣1）2＝380
【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（  ） 
A．x（x+1）＝90    B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90    D．x（x﹣1）＝90
【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？
传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要清楚两个量：
１）每一轮传播的传播源的数量a，
２）每一个传播源每轮传播的数量x。
数量关系：传播总量=a+x+（a+x）x
          化简得：传播总量=a（1+x）2
题型2：传播问题
2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（  ）
A．x（x+1）=81    B．1+x+x2=81
C．（1+x）2=81    D．1+（1+x）2=81
【变式2-1】有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过      　人． 
【变式2-2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？ 
平均变化率问题：
（1）连续增长两次问题：原量×（1+x）2=新量；
（2）连续下降两次问题：原量×（1-x）2=新量.
题型3：平均变化率问题
3.由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是（  ） 
A．16（1+a）2=25    B．25（1﹣2a）=16
C．25（1﹣a）2=16    D．25（1﹣a2）=16
【变式3-1】扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引进新品种“超级水稻”，使总产量增加到18000kg，已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍，求平均亩产量的增长率． 
【变式3-2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
面积问题：
（1）矩形面积=1条长×1条宽；
（2）正确写出长和宽（用x表达）；
（3）全封闭∶某条边=周长÷2-另一边
（4）一边靠墙∶平行于墙的 BC=篱笆总长-2AB（AB垂直墙）；当靠墙用篱笆围矩形养鸡
场时，平行于墙的边要小于墙长，否则鸡逃跑了.
题型4：面积问题（1）
4.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金纸边的宽度． 
【变式4-1】如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽． 
【变式4-2】如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米 ，问小路宽为多少米？ 
题型5：面积问题（2）
5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
【变式5-1】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
【变式5-2】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为      　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
商品销售利润问题（难点）：
（1）关系式∶（售价-成本）×销售量=总利润；
（2）一般都是设涨价（或降价）x元，然后间接求定价或进货量.
注意：实际销售量一般需要用含x的式子表示：实际销售量=原销售量±变化量
题型6：商品销售利润问题
6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ 
【变式6-1】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 
【变式6-2】某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．
（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；
（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．
数字问题：
根据题设：十位上的数记得×10，百位上的数记得×100，以此类推
题型7：数字问题
7.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为(  )
A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4    B．a2+(a+4)2二次感染即将大爆发=10a+a-4-4
C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4    D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
【变式7-1】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数.
【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数. 
一、单选题
1．已知长方形的面积为48 ，若它的长比宽多2cm，则它的宽为（  ）
A．8cm ​    B．6cm     C． 4cm     D．2cm