2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x - 均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121
（D ）),(2
10 【详解】
αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2
阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪
⎨⎧>>12
1α
α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹
的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当
0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线⎩⎨⎧++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式 3
21)'("y y K +=
，曲率半径K
R 1
=
． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122t
t t dx y d -=-
=， 对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2=
+=)'("y y K ，曲率半径10101
==
K
R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
20
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）3
1 【详解】注意（1）2
11x
x f +=
)('，（2）)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ，2
2)
考研数学答案(arctan arctan x x x -=ξ， 3131333
02022
0=+--=-=→→→x
x o x x x x x x arx x x x x x )()(lim )(arctan tan lim lim ξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及0222
2=∂∂+∂∂y
u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；
（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ∂∂∂=∂∂∂=
∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．
所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b
a 00000000等于
（A ）2
)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +- 【详解】
2000000000000000
0)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d b a a d
c d c b a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,，均是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,，线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,，线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等
于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,，时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但
321ααα,，线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
⎰
∞
-=++12
5
21
dx x x ． 【详解】
⎰
⎰∞
-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212
141521π
ππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
⎰
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即
x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1)1()1()7(=-=-=f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程47
22=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz ．
【详解】
设4722-
+++=z y x e z y x F yz ),,(，1222122+=+==yz
z yz y x ye F y ze F F ,,，当2
1==y x 时，0=z ，
21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 21
21--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫
⎝
⎛=22ππθ,),(r 处的切线的直角坐标方程为 ．
【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨
⎧====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭
⎫
⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.2
2π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10，上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标
=x ．
【详解】质心坐标20
113
51211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ．
14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,( 的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求 042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--⎰+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
1211111
1122212
1
1
2
21
1
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→⎰⎰x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到2211x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：
C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2=C ， 即
3
2
313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知322
2222211212)
()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．
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