2016全国研究生入学考试考研数学二解析
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）
设(
)
(
1231,1,1a x a a ==
=，当0x +→时，以上3个无穷小量
按照从低阶到高阶的排序是（ ）
()A 123,,a a a ()B 231,,a a a ()C 213,,a a a ()D 321,,a a a
【答案】：B
【解析】2121~x a -，5
62~a x ，x a 3
1
~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。
（2）已知函数()()21,1ln ,1
x x f x x x ⎧-<=⎨
≥⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()21,1()ln 1,1x x A F x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x B F x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩
()
()()21,1()ln 11,1x x C F x x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1
x x D F x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩
【答案】：()D
【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续，故选()D 。
（3）反常积分()1
211x e dx x -∞⎰与()1
2012x e dx x
+∞⎰的敛散性为（ ） ()A ()1收敛，()2收敛 ()B ()1收敛，()2发散 ()C ()1发散，()2收敛 ()D ()1发散，()2发散
【答案】B
【解析】1101
10
2
=-=∞
-∞-⎰x
x e dx e x ，故()1收敛。
∞+∞
+-=⎰
1
10
21x x
e dx e x
，由于1
lim x x e +
→=+∞，故()2发散
（4）设函数()y f x =在
()-+∞∞，
内连续，其导数的图像，如图所示，则
（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点
【答案】：（B ）
【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.
（5）设函数()i y f x =()1,2i =具有二阶连续导数，且()0i f x ''<()1,2i =，若两条曲线()
i y f x =()1,2i =在点()00,x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线()1y f x =的曲率大于曲线
()2y f x =的曲率，则在点0x 的某个邻域内，有（ ）
()()()()12A f x f x g x ≤≤ ()()()()21B f x f x g x ≤≤ ()()()()12C f x g x f x ≤≤ ()()()()21D f x g x f x ≤≤
【答案】A
【解析】 ：由于()0i f x "
<；可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像
均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式2
3
22222
3
2111))((1)(,))((1)(⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'+"-=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'+"
-=
x f x f k x f x f k ，
由21k k >可知，1020()()f x f x ""
<，则)()(21x f x f <.
（6）已知函数(),x
e f x y x y
=-，则
（A ）'
'
0x y f f -= （B ）'
'
+0x y f f = （C ） '
'
x y f f f -= （D ） '
'
x y f f f += 【答案】： （D ）
【解析】()()
''
''22
,,x x x x
y x y e e e f f f f f x y x y x y =-=+=---. （7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）
()A T A 与T B 相似 ()B 1A -与1B -相似
()C T A A +与T B B +相似 ()D 1A A -+与1B B -+相似
【答案】：()C
【解析】：因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1
,P AP B -=两端取转置与逆可得：()
1
T
T
T
T P A P
B -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+，可知()A 、()B 、()D 均正确，故
选择()C 。
（8）设二次型()()
222123123122313,,222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，
则
（A ）1a > （B ） 2a <- （C ）-21a << （D ）12a a ==-或 【答案】（C ）
【解析】二次型矩阵为111111a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，其特征值为1,1,2a a a --+，可知10,20a a -<+>，即
21a -<<，故选择（C ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.
（9）曲线)1arctan(122
3
x x
x y +++=的斜渐近线方程为_________. 【答案】：2
π
+=x y .
【解析】：由1lim
=∞
→x
y
n 知1=k ，又2)1arctan(lim 1lim ))1arctan(1(lim lim 2
2223π=+++-=-+++=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x y n n n n
则斜渐近线方程为2
π
+=x y .
（10）极限2112
lim
sin 2sin sin n n n n n n n →∞⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭
____________.
【答案】 ： cos1sin1-+
考研数学答案【解析】22
11
112
1
1lim sin 2sin sin lim sin lim sin n
n n n n i i n i i i
n i n n n n n n n n n →∞→∞→∞==⎛⎫++
+== ⎪⎝⎭∑∑ 111
000
1sin cos cos cos cos1sin10x xdx xd x x x xdx ==-=-+=-+⎰⎰⎰ （11）以x
e x y -=2
和2
x y =为特解的一阶非齐次线性微分方程为_________.
【答案】：=-'y y 2
2x x -.
【解析】：由线性微分方程解的性质可知x
x
e e x x =--)(2
2
为齐次方程的解， 可知齐次方程为
0y y '-=。非齐次方程为)(x f y y =-'，将2x y =代入可得：22)(x x x f -=，故方程为
=-'y y 22x x -.
（12）已知函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，且dt t f x x f x
⎰
++=0
2
)(2
)1()(，则当2≥n 时，()(0)n
f =
_________.
【答案】：1
2
5-⋅n
【解析】：)(2)1(2)(,1)0(x f x x f f ++='=，则)(22)(,4)0(x f x f f '+=''='，则10)0(=''f . 两边同时求2-n 阶导可得)(2)()1()
(x f x f
n n -=.则12)1()(25)0(2)0(2)0(---⋅=''==n n n n f f f 。
（13）已知动点P 在曲线3
x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标对时间的
变化率为常数0v ，则当点P 运动到点)1,1(时，l 对时间的变化率是_________. 【答案】：022v
【解析】：6250
6256
2
3,3,x
x x x v dt dx dx dl dt dl x x x x dx dl x x l ++=⋅=++=+= 则
0122|v dx
dl
x ==. （14）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------a a a 111111与⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101110011等价，则=a _________. 【解析】2110110011101110011=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤--→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-r r ，则0111111,2111111=------=⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥
⎥⎦⎤------a a a a a a r 且，则a=2
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限()41
lim cos 22sin x x x x x →+
【解析】由重要极限得，原式为
()()2434
4
44
4
4
0111112221()()cos22sin 1
22461
3lim
lim
lim 3
x x x x x x x x o x x o x x x x x
x x e
e
e
e →→→⎛⎫-
++--++ ⎪+-⎝⎭
===
（16）(本题满分10分) 设函数()()1
220
0f x t x dt
x =
->⎰
，求()f x '，并求()f x 的最小值。
【解析】： 01x << 时，
()()1
222232041
()33
x
x f x x t dt t x dt x x =-+-=
-+
⎰⎰ 当1x ≥时，()122201()3f x x t dt x =-=-⎰ 所以，32241,0133()1,13x x x f x x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
，从而2'
42,01()2,1x x x f x x x ⎧-<<=⎨
>⎩
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