考研数学一-401
(总分：150.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
1.当x→0时，下列无穷小中最高阶的是
A．
B．3x 3 -4x 4 +5x 5 ．
C．e x2 -cosx．
D．

（分数：4.00）
 A.
 B.
 C.
 D. √
解析：[解析] 若两两进行比较，则比较繁，若能估计出每一个无穷小是x的几阶无穷小，则问题就得以解决．
由于当x→0时
A．
B．3x 3 -4x 4 +5x 5
C．
D．
当x→0时，sin(1-cosx) 2 ～(1-cosx) 2 ～
sinx～x，1-cosx～
则当x→0时， 为x的3阶无穷小，从而 为x的4阶无穷小，故应选D．
2.设 处处连续，则f"(0)=
A．0．
B．不存在．
C．
D．

（分数：4.00）
 A.
 B.
 C.
 D. √
解析：[解析] 本题是研究分段函数f(x)在分界点x=0处的二阶导数，如果用导数定义做比较繁．可考虑用幂级数展开．
由于
，由连续性知 ，且
3.设f(x)在x=x 0 处取得极大值，则
（分数：4.00）
 A.f"(x0)=0．
 B.存在δ＞0，使f(x)在(x0-δ，x0)内单调增；而在(x0，x0+δ)内单调减．
 C.存在δ＞0，在(x0-δ，x0)内f"(x0)＞0；而在(x0，x0+δ)内f"(x)＜0．
 D.-f(x)在x=x0处取极小值． √
解析：[解析] 由极大值的定义知，存在δ＞0，当x∈(x 0 -δ，x 0 +δ)时
f(x)≤f(x0)
从而有
-f(x)≥-f(x0)

由极值定义知，-f(x)在x=x 0 处取极小值．故应选D．
4.设，，，则必有
（分数：4.00）
 A.M＞N＞P．
 B.N＞M＞P． √
 C.M＞P＞N．
 D.N＞P＞M．
解析：[解析] 由于(x+y) 2 =x 3 +3xy 2 +3x 2 y+y 3 ，而等式右端4项中的每一项关于x或关于y都是奇函数，而积分域|x|+|y|≤1关于两个坐标轴都对称，则

由于cosx 2 siny 2 ≥0(x 2 +y 2 ≤1)且不恒为零，则
由于
e-x2-y2-1=e-(x2+y2)-1≤0，(x2+y2≤1)
但不恒等于零，则
从而N＞M＞P，故应选B．
5.三元一次方程组
所代表的三平面不可能的位置关系为
A．
B．
C．
D．

（分数：4.00）
 A.
 B.
 C. √
 D.
解析：[解析] 对方程组增广矩阵作初等行变换，有

若a≠-1且a≠4，方程组有唯一解，三个平面有唯一交点．图形A．
若a=4，r(A)= =2＜3，方程组有无穷多解，三个平面交于一条直线如图形B．
若a=-1，r(A)=2， =3，方程组无解．此时第一和第三两个平面方程分别是x 1 +x 2 -x 3 =4与-x 1 -x 2 +x 3 =1．由于这两个平面的法向量平行，所以这两个平面平行，为图形D．
6.设矩阵，，则A和B
（分数：4.00）
 A.合同，但不相似． √
 B.合同，且相似．
 C.相似，但不合同．
 D.既不合同，也不相似．
解析：[解析] 两个实对称矩阵相似 特征值相同，
两个实对称矩阵合同 正、负惯性指数分别相等．
得A的特征值：1，4，0．而B的特征值：3，2，0．
所以A和B不相似，但A和B合同(因为p=2，q=0)．
7.设随机变量X的概率分布为 ，k=0，1，2，…，C为常数，则EX 2 =
（分数：4.00）
 A.1．
 B.2． √
 C.3．
 D.4．
解析：[解析] 已知泊松分布为 ，k=0，1，2，…，λ＞0，可以看出本题所给的分布就是泊松分布，其中λ=1，C=e．
又知泊松分布的EX=λ，DX=λ．
根据公式EX 2 =DX+(EX) 2 =1+1=2．
8.已知(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ 2 ，σ 2 ；ρ)，其中σ＞0，ρ＞0，则随机变量X+Y与X-Y必
（分数：4.00）
 A.相互独立且同分布．
 B.相互独立但不同分布． √
 C.不相互独立但同分布．
 D.不相互独立且不同分布．
解析：[解析] (X，Y)二维正态，则(X+Y，X-Y)也是二维正态，故两个边缘分布X+Y和X-Y的分布也是正态分布．
E(X+Y)=EX+EY=0+0=0，
D(X+Y)=DX+DY=2cov(X，Y)=σ 2 +σ 2 + =2σ 2 (1+ρ)．
E(X-Y)=EX-Ey=0-0=0．
D(X-Y)=DX+DY-2cov(X，Y)=σ 2 +σ 2 - =2σ 2 (1-ρ)．
所以(X+Y)～N(0，2σ 2 (1+ρ))，(X-Y)～N(0，2σ 2 (1-ρ))
X+Y与X-Y不同分布．
cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)
=σ 2 -cov(X，Y)+cov(X，Y)-σ 2 =0
故X+Y与X-Y的相关系数为0，(X+Y，X-Y)为二维正态，所以X+Y与X-Y相互独立．
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9. = 1．


（分数：4.00）
解析： [解析] 由于
而

则
10.通解为y=C 1 e x +C 2 x的常微分方程是 1．

（分数：4.00）
解析：(1-x)y"+xy"-y=0 [解析] 显然，所求方程为二阶方程，可由y，y"，y"消去任意常数C 1 和C 2 求得微分方程．
y=C 1 e x +C 2 x ①
y"=C 1 e x +C 2 ②
y"=C 1 e x ③
②式乘以x减去①式得
xy"-y=C 1 (x-1)e x ④
③式乘以(1-x)加④式得
(1-x)y"+xy"-y=0
则该方程为所求的微分方程．
11.设 ，则f (n) (x)= 1．

（分数：4.00）
解析： [解析] 由于

由
12.曲面片Σ：z 2 =x 2 +y 2 (0≤z≤1)的形心为 1．

（分数：4.00）
解析： [解析] 由对称性知 ，
，则形心为 ．
13.三元二次型χ T Aχ经正交变换χ=Qy化为标准形 ．如果矩阵A属于特征值λ=1的特征向量是α=(1，1，-2) T ，那么Q= 1．

（分数：4.00）
解析： [解析] 求正交变换Q就是求矩阵A的特征向量，而二次型矩阵A是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵A属于特征值λ=2的特征向量是X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ．
于是
αTX=x1+x2-2x3=0
解出α 2 =(-1，1，0) T ，α 3 =(2，0，1) T
由于Q是正交矩阵，现在α 2 ，α 3 不正交，故需Schmidt正交化．
令β 1 =α 2 =(-1，1，0) T ，则有
再单位化，得
， ．
14.设随机变量X 1 ，X 2 相互独立，且X 1 服从标准正态分布，其分布函数为φ(x)，而P{X 2 =-1}=P{X 2 =1)= ，则Y=X 1 X 2 的分布函数FY(y)= 1．

（分数：4.00）
解析： [解析] F Y考研数学答案 (y)=P{Y≤y}=P{X 1 X 2 ≤Y}，根据全概率公式

而X 1 与X 2 是相互独立的，故
三、解答题(总题数：9，分数：94.00)
15.试证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0， )．

（分数：10.00）
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正确答案：()
解析：[证明] 令f(x)=tanx+2sinx-3x， 则
f(x)=sec2x+2cosx-3
f"(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec3x-1)＞0，
从而f"(x)单调增，又f"(0)=0，则
f"(x)＞0，
由此得f(x)单调增，而f(0)=0，则
f(x)＞0，
故
3x＜tanx+2sinx，．
16.设 ，其中f(u)有二阶连续导数，f(0)=f"(0)=0，且 ，求f(u)．

（分数：10.00）
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正确答案：()