题型有：1.
1． (2008年试题，17)已知曲线求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点．
正确答案：曲线C到xOy面的距离就是｜x｜，由曲线C的方程可得到x2+y2=2z2,x+y=5—3x;2z2=x2+y2≥即解得1≤z≤5．当且仅当x=y时一k述不等式中等号成立，将x=y代入到曲线C的方程得到故有｜x｜max=5，｜z｜min=1．最远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析二将曲线C的方程中的z消去可得整理得7x2一4xy+7y2+20x+20y一50=0问题就转化成在上述条件下求｜x｜的最值或求z的最值令F(x，y，κ)=z+λ(7x2一4xy+7y2+20x+20y一50)，分别对x，y，λ求偏导得Fλ=7x2=4xy+7y2+20x+20y一50=0联立上述等式解得最远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析三设P(x，y，z)为曲线C上的任意一点，则点P到xOy平面的距离为｜z｜，问题转化为求z2在约束条件x2+y2一2x2=0与x+y+3z=5下的最值点．令拉格朗日函数为F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+λ(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)根据几何意义知，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)． 涉及知识点：多元函数微分学
2． 计算，其中∑为下半球面的上侧，a为大于零的常数．
考研数学答案正确答案：采用补面法，根据前面分析不能直接补z=0．由于下半球面上的点(x，y，z)应满足x2+y2+z2=a2，则 涉及知识点：高等数学
3． (99年)设矩阵其行列式|A|==1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a、b、c和λ0的值．
正确答案：由题设，有A*α=λ0α两端左乘A，并利用AA*=|A|E=一E(已知|A|=一1)，得一α=λ0Aα解之得λ0=1，b=一3，a=c．由|A|=-1和a=c，有故a=c=2．因此a=2，b=一3，c=2，λ0=1． 涉及知识点：线性代数
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