2007年考研数学二真题解析
一.选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(1) 当时,与等价的无穷小量是 (B)
A. B. C. D.
A. 0 B. 1 C. D.
.
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 (C)
A. 若存在,则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
(5)曲线渐近线的条数为 (D)
0 1 2 3
A.若,则必收敛 B. 若,则必发散
C. 若,则必收敛 D. 若,则必发散
(7)二元函数在点(0,0)处可微的一个充分条件是 (B)
A.
B. ,且
C.
D. 且
(8)设函数连续,则二次积分等于 (B)
(9)设向量组线形无关,则下列向量组线形相关的是: (A)
(A) (B)
(C) (D)
(10)设矩阵A=,B=,则A于B, (B)
(A) 合同,且相似 (B) 合同,但不相似
(C) 不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
.
曲线上对应于的点处的法线斜率为().
设函数,则=.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y=_.
设是二元可微函数,,则.
设矩阵,则的秩为_1______.
三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)设是区间上单调、可导函数,且满足,其中是的反函数,求.
【详解】:
设则.
则原式可化为:
等式两边同时求导得:
(18)(本题满分11分)
设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域.
(Ⅰ)求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;
(Ⅱ)当为何值时,最小?并求此最小值.
【详解】:
得
故
即是唯一驻点,也是最小值点,最小值
(19)求微分方程满足初始条件的特解.
【详解】:
设,则代入得:
设 则
即 由于
故
即
由或
特解为或
(20)已知函数具有二阶导数,且=1,函数由方程所确定.设求,.
【详解】:
两边对求导得
得 (当
故有
(本题11分)
设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明:存在使得.
【详解】:
证明:设在内某点同时取得最大值,则,此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设
故有,由介值定理,在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点=0在区间内再用罗尔定理,即.
(22)(本题满分11分)
设二元函数
计算二重积分其中
【详解】:D如图(1)所示,它关于x,y轴对称,对x,y均为偶函数,得
,其中是D的第一象限部分.
由于被积函数分块表示,将分成(如图(2)):,且
于是.而
所以
得
(本题满分11分)
设线性方程组
与方程
有公共解,求的值及所有公共解.
【详解】:
因为方程组(1)、(2)有公共解,即由方程组(1)、(2)组成的方程组
的解.
即矩阵方程组(3)有解的充要条件为
.
当时,方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为:
当时,方程组(3)的系数矩阵为此时方程组(3)的解为,即公共解为:
(24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量;
求矩阵.
【详解】:
(Ⅰ)可以很容易验证,于是
于是是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到,即
考研数学答案 ,
所以B的全部特征值为-2,1,1.
前面已经求得为B的属于-2的特征值,而A为实对称矩阵,
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵,于是属于不同的特征值的特征向量正交,设B的属于1的特征向量为,所以有方程如下:
于是求得B的属于1的特征向量为
(Ⅱ)令矩阵,则,所以
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