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历年考研数学一真题1987-2017
（答案+解析）
（经典珍藏版）最近三年+回顾过去
最近三年篇（2015-2017）
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
考研数学答案【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）
2．设211
23
()x x y e x e =
+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则
（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===
【详解】线性微分方程的特征方程为2
0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于
()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多
项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方
程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） ３．若级数
1
n
n a
∞
=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数
1
1()
n
n
n na x ∞
=-∑的
（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点
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【详解】注意条件级数
1
n n a ∞
=∑条件收敛等价于幂级数1
n
n n a x ∞
=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即1
1lim
n n n
a a +→∞
=，所以11()n
n
n na x ∞
=-∑的收敛半径1
11lim ()n
n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）
４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则
(,)D
f x y dxdy =⎰⎰
（ ）
（
Ａ
）
1
3
214
22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr
π
θπ
θ
θθθ⎰⎰
（
Ｂ
）
2314
22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
（
Ｃ
）
13214
22sin sin (cos ,sin )d f r r dr
π
θπθ
θθθ⎰⎰
（Ｄ）
12314
22sin sin (cos ,sin )d f r r dr π
θπθ
θθθ⎰⎰
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=
⇒=
221
41412222sin cos sin sin xy r r r θθθ
θ
=⇒=⇒=
⇒=
也就是D ：4
32sin sin r ππθθ
θ⎧<<⎪⎪⎨<<22
所以
(,)D
f x y dxdy =⎰⎰1
23
14
22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
，所以应该选
（B ）．
5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是
（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω
（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
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22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b a
d a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为
222
123
2y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为
（A ）2221232y y y -+ （B ）222
1232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 222123
2y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
211T T T T f x Ax y PAPy y y
⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭
所
以
100100100210
001001001100
010*********
T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪
=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
故选择（A ）．
7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）
（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥
（C ）2()()()P A P B P AB +≤
（D ）2
()()
()P A P B P AB +≥
【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2
()()
()P A P B P AB +≤故选择（C ）．
8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则
2(())E X X Y +-=（ ）
（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5
【
详解】
22222(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX
+-=+-=++-
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故应该选择（D ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )
lim
x x x
→= 【详解】2001
22
ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．
10．2
21sin cos x x dx x
π
π-
⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭⎰ ．
【详解】只要注意1sin cos x
x
+为奇函数，在对称区间上积分为零，
所以2
2202214sin .cos x x dx xdx x
π
πππ-⎛⎫
+== ⎪+⎝⎭⎰⎰
11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z
e xyz x x +++=确定，则
01(,)|dz = ．
【详解】设2(,,)cos z
F x y z e xyz x x =+++-，则
1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+
且
当
01
,x y ==时，
z =，所
以
010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)
y x z z F F z z
x y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -
12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则
23()dxdydz x y z Ω
++=⎰⎰⎰ ．
【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是
dxdydz dxdydz dxdydz x y z Ω
Ω
Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
11
2
236631()dxdydz dxdydz ()z
D x y z z zdz dxdy z z dz Ω
Ω
++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
13．n 阶行列式
20021
202
002
2
12
-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+
由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．
14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则
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{}0P XY Y -<= ．
【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，
1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．
则101~(,)X N -．
{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=
⨯+⨯=
三、解答题
15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，
3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．
【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得
233332331236123
()(())(())
()()()()
x x f x x a x o x bx x x o x a a
a x
b x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023
a a
b a k ⎧
⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，
解得，11
123
,,.a b k =-=-=-
16．（本题满分10分）
设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线
)
(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的
面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．
【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为
000()()()y f x x x f x '=-+
令0y =，得000()
()
f x x x f x =-
' 曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为
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