（2004-2014）历年考研数学三真题及答案解析
20XX 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）
（A ）2
n a a >
（B ）2
n a a <
（C ）1n a a n >-
（D ）1
n a a n
<+
（2）下列曲线有渐近线的是（） （A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+
（C ）1sin
y x x =+ （D ）21
sin y x x
=+
（3）设2
3
(x)a P bx cx dx =+++，当0x →时，若(x)tanx P -是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16
d =
（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）
（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式
0000000
a
b a b
c
d c
d =
（A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -
（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件
（D ）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
（8）设123,,X X X 为来自正态总体2
(0,)N σ
服从的分布为
（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.
（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
(10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。  (11)设
20
1
4
a
x xe dx =
⎰
，则_____.a =  (12)二次积分2
21
1
0(
)________.x
y y e dy e dx x
-=⎰⎰ （13）设二次型22
123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围
是_________
（14）设总体X 的概率密度为2
22(;)30
x x f x θθ
θθ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其它
，其中θ是未知参数,
12,,...,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若2
1
n
i
i c
x
=∑是2θ的无偏估计，则c = _________
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限121
21lim
1
ln(1)
x
t
x t e t dt x x
→+∞
⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+⎰
（16）（本题满分10分）
设平面区域2
2
{(,)|14,0,0}D x y x y x y =≤+≤≥≥
，计算.D
（17）（本题满分10分）
设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )x
z f e y =满足222224(cos )x x
z z z e y e x y
∂∂+=+∂∂，若
(0)0,'(0)0f f ==，求()f u 的表达式。
（18）（本题满分10分） 求幂级数
(1)(3)n
n n n x
∞
=++∑的收敛域及和函数。
（19）（本题满分10分）
设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明： （I ）0(),[,];x
a
g t dt x a x a b ≤≤-∈⎰
（II ）
考研数学答案
()()()().b
a a g t dt
b a
a
f x dx f x
g x dx +
⎰≤⎰
⎰
（20）（本题满分11分）设123401111203A --⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，E 为3阶单位矩阵。
①求方程组0Ax =的一个基础解系；②求满足AB E =的所有矩阵B
（21）（本题满分11分）证明n 阶矩阵11111
111
1⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00
100200n ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
相似。 （22）（本题满分11分）
设随机变量X 的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=1
2
，
在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布(0,)(1,2)U i i = （1）求Y 的分布函数()Y F y  （2）求EY
（23）（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 的概率分布相同，X 的概率分布为12
{0},{1},33
P X P X ====且X 与Y 的相关系数1
2
XY ρ=
（1） 求（X ，Y ）的概率分布
（2）求P{X+Y ≤1}
20XX 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.
（1）A （2）C （3）D （4）C （5）B （6）A （7）（B ） （8）（C ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）
p dp
dR
440-= （10）22
3
ln - （11）21
=a
（12）)e (12
1
-
（13）[-2,2] （14）
25n
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】