本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 下列函数不可导的是： A.x x y sin =
B.x x y sin =
C.x
y cos =
D.x y cos
=
2.过点（1,0,0）与（0,1,0）且与2
2
y x z +=相切的平面方程为 A.10=-+=z y x z 与 B.2220=-+=z y x z 与 C.1=-+=z y x x y 与 D.222=-+=z y c x y 与 3.
)!
12(3
2)1(0
n ++-∑∞
=n n n
=
A.1cos 1sin +
B.1cos 1sin 2+
C.1cos 1sin +
D.1cos 21sin 3+
4.dx x
x M ⎰-
++=2222
1)
1(ππ， dx e x N x ⎰+=22
-
1π
π
，
dx x K ⎰+=2
2
-cos 1π
π）（，则M,N,K 的大小关系为：
A.K N M >>
B.N K M >>
C.N M K >>
D.K M N >>
5. 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为________.
A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001101-11
B.⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-100110101
C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111
D.⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-100010101
6.设A,B 为n 阶矩阵，记)(r X 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则
A.)A ()AB A (r r =
B.)A ()BA A (r r =
C.)}B (),A ({max )B A (r r r =
D.)B A (r )B A (r T
T
= 7.设随机变量X 的概率密度)(x f 满足6.0)(),1()1(2
=-=+⎰
dx x f x f x f ，则}
0{p ＜x = 。
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
8.给定总体),(2
σμN X -，2
σ已知，给定样本，，，，X X X 对总体均值μ进行检验，令0100:μμμμ≠=H H ，：，则
A.若显著性水平0.05=α时拒绝0H ，则0.01=α时也拒绝0H .
B.若显著性水平0.05=α时接受0H ，则0.01=α时拒绝0H .
C.若显著性水平0.05=α时拒绝0H ，则0.01=α时接受0H .
D.若显著性水平0.05=α时接受0H ，则0.01=α时也接受0H . 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.
9. e x
x kx x =+-→sin 1
0)tan 1tan 1(lim ，则k= 。
10. )(x f y =的图像过（0，0），且与x
a y =相切于（1，2）.求dx x f )(x 1
''⎰= 。
11. κηε
xz yz xy z y x F +-=),,(，求(1,1,0)F rot
= 。
12. 曲线s 由12
2
2
=++z y x 与0x =++z y 相交而成，求⎰
xyds = 。
13. 二阶矩阵A 有两个不同的特征值，
21αα，是A 的线性无关特征向量，
)()(21212αααα+=+A ，则A = 。
14. A ，B 独立，A ，C 独立，φ≠BC ，21)()(=
=B P A P ，4
1
|=⋃）（C AB AC P ，则）（C P = 。
三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求不定积分
dx e x x 1arctan e 2-⎰
16. 一段绳子总长为2，分成三段，分别围成圆形，正方形，正三角形。这三段分别为多长时，所得的面积之和最小，并求出最小值。 17.
曲面∑
：
2
2331z y x --=取正面，求⎰⎰∑
+++dxdy z dxdz z y xdydz 33)( 18. 微分方程)('
x f y y =+
（1）当x x f =)(时，求微分方程的通解。
（2）当)(x f 为周期函数时，证明微分方程 有通解与其对应，且该通解也为周期函数。
19.数列}{x n ，,0x 1>1x x x 1
-=+n n e e n 。证}{x n 收敛，并求n n x lim ∞
→。
20.（本小题11分）
设实二次型2
312
322
321321)()()(),,(x x x x x x x x x x f α+++++-=，其中α为是参数。 （1）求0),,(321=x x x f 的解。 （2）求),,(321x x x f 的规范形。
21.（本题满分11分）
已知a 是常数，且矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a A 7203121可经初等变换化为变矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11111021a B 。 （1）求a ；
（2）求满足AP=B 的可逆矩阵P.
22. 已知随机变量X ，Y 相互独立，且2
1
)1(,21)1(=-==
=X P X P ，Y 服从参数为λ的泊松分布，Z=XY
（1）),(Z X Cov . （2）求Z 的概率分布.
23. X X X ，，，来自总体X 的分布，）未知，（+∞<<∞-=-x e x f x
σσ考研数学答案
σ
21)(。 （1）求σ的极大似然估计。
（2）求)(ΛσE ,)(Λ
σD
2018考研数学一参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3. B
4. C
5.A
6.A
7.A
8. D
二、填空题
9. -2 10.22ln 2- 11. →
→
-k i 12.0 13. -1 14.4
1
三、 解答题
15. 解：x x x x
de e dx e e
221arctan 2
1
1arctan -=
-⎰⎰
C e e e e C e e e e e d e e e e de
e e e e dx
e e e e dx e e e e e e x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x +-----⋅=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+---⋅=--+---⋅=
-+---⋅=---⋅=-+-⋅--⋅=⎰⎰⎰⎰12
1)1(611arctan 2112)1(32411arctan 21)1(1
1
1411arctan 21111411arctan 211
411arctan 21)1(112211arctan 2123
223
2222222 16. 解：设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长为z ，由题设2=++z y x ，则
目标函数：163634)4()3(232122
22222z y x z y x S ++=+⋅
+=πππ）（，故拉格朗日函数为 )2(163634,,,2
22-+++++=z y x z y x z y x L λπλ）（则：
02=+=
λπ
x
L x
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