2021考研数学真题及答案解析
数学（三）
(1)当0x →时，2
3
0(1)x t e dt -⎰是7x 的
(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C.
【详解】因为当0x →时，2
3
670(1)2(1)x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦
⎰ ，所以2
3
(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正
确答案为C.
(2)函数1
,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
⎨⎪=⎩
，在0x =处
(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.
【答案】D.
【详解】因为001
lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x
→→-==，故()f x 在0x =处连续；
因为20001
1
()(0)11lim =lim lim 002
x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==
--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(3)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则b
a
的取值范围是(A)(,)e +∞.(B)(0,)e .
(C)1(0,)e
.
(D)1
(,)e
+∞.
【答案】A.
【详解】令()ln 0f x ax b x =-=，()b f x a x '=-，令()0f x '=有驻点b x a =，ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫
=⋅-⋅< ⎪⎝⎭
，从而ln
1b a >，可得b
e a
>，正确答案为A.(4)设函数(,)f x y 可微，2
(1,)(1)x
f x e x x +=+，22
(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.
【详解】2
12(1,)(1,)(1)2(1)
x
x
x
f x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x
''+=+②
分别将00x y =⎧⎨
=⎩，1
1
x y =⎧⎨=⎩带入①②式有
12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2
f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.
(5)二次型2
2
2
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.
(C)2,1.
(D)1,2.
【答案】B.
【详解】22221231223312122313
(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，故特征多项式为
11
||121(1)(3)11E A λλλλλ
λ
---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.
(6)设1234(,,,)=ααααA 为4阶正交矩阵，若矩阵T 1T 2T 3=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
αααB ，111⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭β，k 表示任意常数，
则线性方程组=βBx 的通解=
x (A)2341k +++αααα.(B)1342k +++αααα.(C)1243k +++αααα.(D)1234k +++αααα.
【答案】D.
【解析】因为1234(,,,)=ααααA 为4阶正交矩阵，所以向量组1234,,,αααα是一组标准正交向量
组，则()3r =B ，又T 1T 424T 3=⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭0B ααααα，所以齐次线性方程组=0Bx 的通解为4k α.而
T 1T 1232123T 31()=()11β⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
++++=
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
B ααααααααα，故线性方程组=βBx 的通解1234k =+++x αααα，其中k 为任意常数.故应选D.
(7)已知矩阵101211125-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角
矩阵，则P ，Q 可以分别取
(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.
(B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.(D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
.
【答案】C.【解析】
101100101100101100()211010013210013210125001026101000321---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,E (,)=F P ，则100210321⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ;
1
011000130100000001
00101010013001001-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
F E ΛQ ，则101013001⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
Q .故应选C.(8)设A ，B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是
(A)若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A =.(B)若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A >(C)若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A >.(D)若(|)(|)P A A B P A A B > ，则()()P A P B >.【答案】D.
【详解】(())()
(|)()()()()
P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB =
=
+- (())()()()(|)()()()()()
P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB -=
==
+- 因为(|)(|)P A A B P A A B > ，固有()()()P A P B P AB >-，故正确答案为D.
(9)设11(,)X Y ，22(,)X Y ， ，(,)n n X Y 为来自总体2
2
1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令
12θμμ=-，11n i i X X n ==∑，1
1n
i i Y Y n ==∑，ˆX Y θ=-则
(A)ˆ()E θθ=，22
12ˆ()D n
σσθ+=.
(B)ˆ()E θθ=，221212
2ˆ()D n
σσρσσθ+-=.
(C)ˆ()E θθ≠，2212ˆ()D n
σσθ+=.
(D)ˆ()E θθ≠，221212
2ˆ()D n
σσρσσθ+-=
.【答案】B
【详解】因为,X Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y -也服从二维正态
分布，即1
2
ˆ()()()()E E X Y E X E Y θ
μμθ=-=-=-=，22
12122ˆ()()()()cov(,)D D X Y D X D Y X Y n
σσρσσθ+-=-=+-=，故正确答案为B.
(10)设总体X 的概率分布为1{1}2P X θ-==，1{2}{3}4
P X P X θ
+====，利用来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为
(A)14.
(B)38
.(C)12.(D)52.【答案】A .
【详解】似然函数35
11()()()24L θθθ-+=，
取对数11ln ()3ln()5ln()24
L θθ
θ-+=+；
求导ln ()35011d L d θθθθ=+=-+，得14
θ=.故正确答案为A.
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置
上.）
(11)
若cos y e =，则
1
x dy dx
==______________.
【答案】1sin
2e e
.
【详解】
sin dy
e e dx
=-1
1sin
2x dy e dx
e ==.
(12)
5=______________.
【答案】6.
【详解】2235
353
311622-+=⎰
.(13)设平面区域D
由曲线sin (01)y x x π=≤≤与x 轴围成，
则D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积为______________.【答案】
4考研数学答案
π
.
【详解】11
2220
01)sin sin 24
V x dx x xdx x t
tdt
ππ
πππππ=====⎰⎰.(14)差分方程t y t ∆=的通解为______________.【答案】211
22
y y y t t C *=+=-+，C 为任意常数.
【详解】y C =,1(+)2y at b *=
，(1)((1))(1)t a t b t at t +++-+=，2at a b t ++=，12a =,12
b =-，211
22
y y y t t C *=+=-+,C 为任意常数.
(15)多项式12121()2
1
1211
x
x x x f x x x
-=
-中3
x 项的系数为______________.
【答案】-5.【详解】
12211211112121()1
12121
122
1
2
1
111
21
31211
211
x x x x x x x f x x x
x x x x
x
x
x
x
x
----=
=-------所以展开式中含3
x 项的有3
3
,4x x --，即3
x 项的系数为-5.
(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数______________.【答案】
15
.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(,)311310
5510X Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ ,0
11122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 0
11122Y ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
1cov(,)20X Y =，11,44DX DY ==，即15
XY ρ=.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本小题满分10分)
已知()1
01
lim[arctan 1]x x x x
α→++存在，求α的值.
【答案】11
().
e e
απ=-【详解】.要想极限存在，则左右极限相等；
又由于1
01lim arctan (1);2
x
x x e x παα+→⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦
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