2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()
2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则
()A 11,6
a b ==-.
()B 11,
6a b ==.
()C 1
1,6
a b =-=-.
()D 1
1,6
a b =-=.
【答案】 A
【解析】2
()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则
222200000
()sin sin 1cos sin
lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx ®®®®®---==-×---洛洛2
30
sin lim 1
66x a
ax a b b ax a
®==-=-×    3
6a b \=-  故排除,B C 。 另外2
01cos lim 3
x a ax
bx ®--存在，蕴含了
1cos 0a ax -®()0x ®故  1.a =排
D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形
()
{}
,1,1x y x y ££被其对角线划分为
四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k
k D I y xdxdy =òò
，
则{}14
max k k I ££=
()A 1I .
()B 2I .      ()C 3I .
()D 4I .
【答案】A
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的
奇函数，所以240I I ==;
13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是
-1 
-1 
1 
1 
x
y  1D  2D
3D
4D
关于x 的偶函数，所以{}
1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò
；
{}
3(,),012
cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò
.所以正确答案为A. 
（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x F x f t dt =
ò的图形为
()A ()
B
()
C ()
D
【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、
0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：
①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减。 ②[]1,2x Î时，()F x 单调递增。
③[]2,3x Î时，()F x 为常函数。
④[]1,0x Î-时，()0F x £为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D 。
（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a ®¥
=，则
()A 当1
n n b ¥=å收敛时，1n n n a b ¥
=å收敛.
()B 当1
n n b ¥=å发散时，1
n n n a b ¥
=å发散.
()C 当1
n
n b
¥
=å收敛时，
221
n n
n a b
¥
=å收敛.
()D 当1
n
n b ¥
=å发散时，
221
n n
n a b
¥
=å发散.
【答案】C 【解析】 方法一：
举反例 A 取1(1)
n考研数学答案
n n a b n ==-      B 取1
n n a b n ==
D 取1
n n a b n
==
故答案为（C ） 方法二：
因为lim 0,n n a ®¥
=则由定义可知1,N $使得1n N >时，有1n
a <
又因为
1
n
n b
¥
=å收敛，可得lim 0,n n b ®¥
=则由定义可知2,N $使得2n N >时，有1n b <
从而，当12n N N >+时，有22
n n
n a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221
n n n a b ¥
=å收敛。
（5）设123,,a a a 是3维向量空间3
R 的一组基，则由基12311
,,23a a a 到基
122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵为
()A 101220033æöç÷ç
÷èø
.
()B 120023103æöç÷ç÷èø
.
()C 111246111
2461112
4
6æö-ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷-ç÷èø
.
()D 111222111
4441116
6
6æö-ç÷ç÷ç÷-ç
÷ç÷-ç÷èø
. 【答案】A
【解析】【解析】因为因为()()1212,,,,,,n n A h h h a a a =  ，则A 称为基12,,,n a a a  到12,,,n
h h h  的过渡矩阵。
则由基12311
,,2
3
a a a 到122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵M 满足
()12233112311
,,,,2
3M a a a a a a a a a æö+++=ç÷èø
1231011
1
,,22023
033a a a æö
æöç÷=ç÷èøç÷èø
所以此题选()A 。
（6）设,A B 均为2阶矩阵，*
*
,
A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块
矩阵
O A B O æö
ç÷è
ø的伴随矩阵为
()A **
32O B A O æö
ç÷èø.
()B **
23O
B A O æö
ç÷èø.      ()C **
32O A B
O æöç÷èø.
()D **
23O A B
O æö
ç÷èø. 【答案】B
【解析】根据CC C E *
=，若1
1
1,C C C C
C C
*
--*
==
分块矩阵0
0A B æöç
÷èø
的行列式22012360A A B B ´
=
-=´=（），即分块矩阵可逆
1
1
11000
66000100
B B
A A A
B B B B A A A
**
---*
æ
öç÷æöæö
æö
===ç÷ç÷ç÷ç
÷èø
èøè
øç÷èø
100
23613002
B B A
A ***
*æöç÷æö==ç÷ç÷ç÷èøç÷èø
故答案为B 。
（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç
÷èø
，其中()x F 为标准正态分布函数，则EX =
()A 0.
()B 0.3.      ()C 0.7.
()D 1.
【答案】()C
【解析】因为()()10.30.72x F x x -æö=F +F ç
÷èø
， 所以()()0.710.322x F x x -æö
¢
¢¢
=F +F ç÷
èø， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +¥+¥-¥-¥é-ù
æö¢¢¢==F +F ç÷êúèøëûòò
()10.30.352x x x dx x dx +¥
+¥
-¥
-¥
-æ
ö¢¢=F +F ç÷èø
ò
ò
而
()0x x dx +¥
-¥
¢F =ò
，
()()11221222x x x dx u u u du +¥
+¥-¥
-¥--æö¢¢F =+F =ç÷èø
ò
ò
所以00.3520.7EX =+´=。
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()
Z F z 的间断点个数为
()A 0.
()B    1.      ()C    2.
()D    3.
【答案】 B