1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)考研数学答案
(1) 设2lim(
)8x
x x a x a
→∞+=-，则a = ln2 .
2x +2y –3z = 0 ．
(3) 微分方程''2'2x
y y y e -+=的通解为)1sin cos (21++=x c x c e y x
(4) 函数)ln(2２
＋ｚy x u +=)在A (1，0，1)处沿点A 指向点B (3，-2，2)方向的方向导数
为
1
2
.
(5) 设A 是4 ⨯3矩阵，且A 的秩r(A)=2，而B = ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-301020201，则r(AB) = 2 .
二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 已知
2
)()(y x ydy
dx ay x +++ 为某函数的全微分，则a 等于 (D)
(A) –1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2.
(2) 设()x f 有二阶连续导数, 且(0)0f '=,0()
lim 1x f x x
→''=，则 (B)
(A) )0(f 是()x f 的极大值 (B) )0(f 是()x f 的极小值
(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点
(D) )0(f 不是()x f 的极值, (0,(0))f 也不是曲线y =()x f 的拐点.
(3) 设0n a >(1,2,)n = ，且∑∞
=1
n n a 收敛，常数(0,)2π
λ∈，则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞
=-∑ (A)
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 （C ） 发散 (D) 敛散性与λ有关.
(4) 设()x f 有连续的导数，(0)0f =，)0('f ≠0，F ()x =
,)()(20
2dt t f t x x
-⎰
且当0→x 时，
)('x F 与k x 同阶无穷小，则k 等于 (C)
(A) 1. （B ）2. (C) 3. (D) 4.
(5) 四阶行列式 4
433221
100000000a b a b b a b a 的值等于 (D)
(A) 4321a a a a -4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C)（2121b b a a -）（4343b b a a -） (D) （3232b b a a -）（4141b b a a -） 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长，其中0>a .
解：()sin r a θθ'=-，
……2分
22()ds r r d θ'=+22(1cos )(sin )2|cos |2a d a d θ
θθθθ=++-=
……3分 利用对称性，所求心形线的全长00
22cos 8sin
822s a d a a π
πθθ
θ===⎰. ……5分
(2) 设101=x ,n n x x +=
+61(n=1,2,…)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.
证：由110x =及216164x x =+==，知12x x >.
假设对某正整数k 有1k k x x +>，则有11266k k k k x x x x +++=+>+=，故由归纳法知，对一切正整数n ，都有1n n x x +>.即{}n x 为单调减少数列. ……3分
又由16n n x x +=+，显见0(1,2,)n x n >= ，即{}n x 有下界. 根据极限存在准则，知lim n n x →∞
存在.
……4分
令lim n n x a →∞
=，对16n n x x +=+两边取极限，得6a a =+从而2
60a a --=.因此
32a a ==-或.因为0(1,2,)n x n >= ，所以0a ≥.舍去2a =-，故极限值3a =. ……5分
四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)
(1) 计算曲面积分⎰⎰
++S
zdxdy dydz z x ）（2，其中S 为有向曲面2
2y x z +=，(10≤≤z )，
其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.
解一： 以1S 表示法向量指向z 轴负向的有向平面22
1(1)z x y =+≤，D 为1S 在XOY
平面上的投影区域，则
1
(2)()S D
x z dxdy zdxdy dxdy π++=-=-⎰⎰⎰⎰.
……2分
记Ω表示由S 和1S 所围的空间区域，则由高斯公式知
1
(2)(21)S S x z dxdy zdxdy dv +Ω
++=-+⎰⎰⎰⎰⎰
21
2421
1
1
3
000
336()6242r r r d rdr dz r r dr π
πθππ⎡⎤=-=--=--=-
⎢⎥⎣⎦⎰
⎰⎰⎰. ……5分 因此
1
3(2)()22
S x z dxdy zdxdy ππ
π++=-
--=-⎰⎰. ……6分
解二： 以,yz xy D D 表示S 在,YOZ XOY 平面平面上的投影区域，则
(2)S
x z dxdy zdxdy ++⎰⎰2222(2
)()(2)()yz
yz
xy
D D D z y z dydz z y z dydz x y dxdy =--+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2224()yz
xy
D D z y dydz x y dxdy =--++⎰⎰⎰⎰
……2分
其中3
11
12
2
22
1
4(1)3yz
y
D z y dydz dy z y dz y dy
--=-=-⎰⎰⎰420
4431sin cos 334224
y t tdt π
ππ
==⋅⋅⋅=⎰
；
21
22
2
()2
xy
D x y dxdy d r rdr ππ
θ+=⋅=
⎰⎰⎰⎰，
……5分
所以
1
(2) 4.
2
2
2
S x z dxdy zdxdy π
π
π
++=-+
=-
⎰⎰. ……6分
(2) 设变换⎩
⎨⎧+=-=ay x v y x u 2 可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x x 简化为02=∂∂∂v u z
，求常数a .
解：,2z z z z z z a x u v y u v
∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂.
…
…1分 22222222z z z z x u u v v ∂∂∂∂=++
∂∂∂∂∂,2222222(-2)z
z z z a a x y
u u v v ∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂, 2222
2222
44z z z z a a y u u v v ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂. ……4分
将上述结果代入原方程，经整理后得22
22(105)(6)0z z a a a u v v
∂∂+++-=∂∂∂. 依题意知a 应满足2
60,1050a a a +-=+≠且，解之得3a =.
……6分
五、(本题满分7分) 求级数
∑∞
=-2
22)1(1
n n
n 的和.
解：设22()(||1)1
n
n x S x x n ∞
==<-∑，
……1分
则2111
()()21
1n n S x x n n ∞
==--+∑，
其中122111111n n n n n n x x x x x n n n ∞∞∞
-=====--∑∑∑. 23111(0)1
n n
n n x x x n x n ∞∞===≠+∑∑.
……3分
设11()n n g x x n
∞
==∑，则11111()(||1)1n n n n g x x x x n x ∞∞-=='⎛
⎫'===< ⎪-⎝⎭∑∑. 于是00()()(0)()ln(1)(||1)1x x dt
g x g x g g t dt x x t
'=-===--<-⎰⎰.
从而2
1()[ln(1)][ln(1)]222x x S x x x x x =-------
221ln(1)(||10)42x x x x x x
+-=+-<≠且.
……5分 因此221153
ln 2(1)2
284n
n s n ∞
=⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑. ……7分
六、(本题满分7分)
设对任意0>x ，曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在y 轴上的截距等于
⎰x
dt t f x
0)(1，求)(x f 的一般表达式. 解：曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-. ……1分 令0X =，得截距()()Y f x xf x '=-.
……3分
由题意，知0
1()()()x
f t dt f x xf x x '=-⎰. 即0()[()()]x f t dt x f x xf x '=-⎰.
上式对x 求导，化简得()()0xf x f x ''+=， ……5分
即('())0d xf x dx
=，积分得1'()x f x C =. 因此12()ln f x C x C =+（其中12,C C 为任意常数）.
……7分
七、(本题满分8分)
设)(x f 在[]1,0上具有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤)(''，其中b a ，都是非负常数，c 是()0,1内的任意一点.证明2
2)('b a c f +
≤.
证：2
()()()()()(),(*)2!
f x c f x f c f c x c ξ''-'=+-+
其中(),01c x c ξθθ=+-<<. ……2分
在(＊)式中令0x =，则有2
11()(0)(0)()()(0),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<
在(＊)式中令1x =，则有2
22()(1)(1)()()(1),01;2!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<
上述两式相减得22
211(1)(0)()()(1)()2!
f f f c f c f c ξξ'''''⎡⎤-=+--⎣⎦. ……5分 于是22
211|()|(1)(0)()(1)()2!
f c f f f c f c ξξ'''''⎡⎤=----⎣⎦ 222111
(1)|(0)||()|(1)|()|2!2!
f f f c f c ξξ''''≤++-+
22[(1)]2
b
a a c c ≤++-+. ……7分
又因22(0,1),(1)1c c c ∈-+≤，故|()|22
b
f c a '≤+. ……8分
八、(本题满分6分)
设T A I ξξ=-，其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T
ξ是ξ的转置.证明： (1) A A =2
的充要条件是1=ξξT ；(2) 当1=ξξT 时,A 是不可逆矩阵. 证：(1) 2()()2T T T T T A I I I ξξξξξξξξξξ=--=-+
(2)(2)T T T T I I ξξξξξξξξ=--=--.
A A =2即(2)T T T I I ξξξξξξ--=-，亦即()T T I ξξξξ-=O ，因为ξ是非零列向量，
0T ξξ≠，故A A =2的充要条件是10T ξξ-=，即1T ξξ=.
……3分 (2) 用反证法：当1T ξξ=时A A =2.若A 可逆，则有121
A A A A --=，从而A I =.这与
T A I I ξξ=-≠矛盾，故A 是不可逆矩阵.
……6分
九、(本题满分8分)
已知二次型32312132132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2. (1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,)4f x x x =表示何种二次曲面.
解：(1) 此二次型对应矩阵为A =51315333c -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭
， ……1分
因()2r A =，故5
13
||1
5
3033A c
-=--=-，解得3c =.容易验证此时A 的秩的确是2. ……3分
这时，||(4)(9)I A λλλλ-=--，故所求特征值为0,4,9λλλ===.
……6分 (2) 由上述特征值可知，123(,,)1f x x x =表示椭圆柱面. ……8分
十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)
(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A 生产的概率是37
.
(2) 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2
))2
N 的随机变量，
则随机变量||ξη- 的数学期望(||)E ξη-＝2
π
.
十一、(本题满分6分)
设,ξη是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布律为
1
(),1,2,33
P i i ξ===. 又设max{,},min{,}X Y ξηξη==.
(1) 写出二维随机变量(,)X Y 发分布律；(2) 求随机变量X 的数学期望.
解：(1)
Y X
1 2 3 1
1 / 9 0 0
2 2 / 9 1 / 9 0
3
2 / 9
2 / 9
1 / 9
…
…4分
(2) 13522
()1239999
E X =
⋅+⋅+⋅=
……6分 注：写对分布律中的1个数得1分，2～4个得2分，5～7个得3分，8～9个得4分.
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