2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上． （1
）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩
在x 连续，则 (A) 12
ab =． (B) 12
ab =-
． (C) 0ab =． (D) 2ab =．
【答案】A
【详解】由0
11
lim 2x b ax a +
→-==，得12
ab =.
（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则
(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.
【答案】C
【详解】2()
()()[]02
f x f x f x ''=>，从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．
(C) 4．
(D)2 ．
【答案】D
【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33
=
==αβγ，偏导数2
2,,2x y z f xy f x
f z '''===，代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则
(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．
【答案】C
【详解】在025t =时，乙比甲多跑10m，而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T
E -αα不可逆． (B) T
E +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T
2E -αα不可逆．
【答案】A
【详解】可设T α=(1,0,
,0)，则T αα的特征值为1,0,,0，从而T αα-E 的特征值为
011,,,，因此T αα-E 不可逆.
（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．
(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B
【详解】,A B 的特征值为221,,，但A 有三个线性无关的特征向量，而B 只有两个，所以
A 可对角化,
B 则不行.
（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件
(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．
【答案】A
【详解】由(|)(|)P A B P A B >得
()()()()
()()1()
P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=
-，即()>()()P AB P A P B ;
由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,
,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下
列结论不正确的是 (A)
2
1()n
i i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2
χ分布．
(C)
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2
χ分布．
【答案】B
【详解】22
2211
~(0,1)()~(),()~(1)1n n
i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;
22
1~(,),()~(1);X N n X n
-μμχ2211()~(0,2),
~
(1)2n n X X X X N --χ.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数2
1
(),1f x x
=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】24
2
考研数学答案1()1(11)1f x x x x x
=
=-++-<<+，没有三次项.
（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．
【答案】12e ()x
y C C -=+
【详解】特征方程2
230r r ++=
得1r =-,
因此12e ()x y C C -=+.
（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}
1),(2
2<+=y x y x D 内与路径无关，则=a
． 【答案】1-
【详解】有题意可得
Q P
x x
∂∂=
∂∂，解得1a =-. （12）幂级数
11
1
)
1(-∞
=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．
【答案】
2
1
(1)
x + 【详解】
1
1
2
1
1
1
(1)[()](1)n n n n n nx
x x ∞
∞
--=='-=--=
+∑∑.
（13）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩
为 ．
【答案】2
【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A
（14）设随即变量X 的分布函数4
()0.5()0.5()2
x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】0
0.54()d [0,5()()]d 222
x EX xf x x x x x +∞
+∞
-∞
-=
=+
=⎰
⎰
ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．
设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),x
y f x =求
2200
,x x dy
d y dx
dx
==.
【答案】
(e ,cos )x y f x =
()
''12'12''''''''''
11121212222
2''''
11122
sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dy
f e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴
=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．
求2lim
ln(1)n k k
n n
→∞+.
【答案】
21222112
0012202lim ln(1)1
122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)2
1111
ln(1)02211111
ln 2221n k n n k k n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dx
x x ∞
→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝
⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑
⎰⎰⎰101
10
02
111ln 2[(1)]
22111111ln 2[()ln(1)]
002221111
ln 2(1ln 2)2224
dx
x
x dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰
（17）（本题满分10分）．
已知函数)(x y 由方程3
3
3320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】3
3
3320x y x y +-+-=①，
方程①两边对x 求导得：2
2
'
'
33330x y y y +-+=②， 令'
0y =，得2
33,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.
方程②两边再对x 求导：'2
2
''
''
66()330x y y y y y +++=， 令'
0y =，2
''
6(31)0x y y ++=，
当1x =，1y =时''
32
y =-
，当1x =-，0y =时''
6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.
（18）（本题满分10分）．
设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0
()
lim 0x f x x
+
→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;
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