考研数学一（解答题）模拟试卷121 (题后含答案及解析)
题型有：1. 
1． 设在上半平面D={(x，y)丨y>0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x．y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
正确答案：      涉及知识点：多元函数积分学
2． 设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．
正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0＋c2α1＋c3α2＝0时它们一定都是0．    记此式为(1)式，用A乘之，得    c2α0＋c3Aα2＝0    (2)    再用A乘(2)得c3α0＝0．由α0≠0，得c3＝0．代入(2)得c2＝0．再代入(1)得c1＝0．      涉及知识点：向量组的线性关系与秩
3．
正确答案：注意分解1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1－x2+x4)．      涉及知识点：高等数学
考研数学答案
4． 求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．
正确答案：f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn)      (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0      涉及知识点：一元函数微分学
5． 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．
正确答案：把函数f(x)在x=0处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得    f(x)=f(0)+f’(0)x+(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)．在公式中取把函数f(x)在x=1处展开成泰勒公式，得f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f’’(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取①－②消去未知的函数值即得f’’(ξ1)－f’’(ξ1)=8=>｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ1)｜≥8．    从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得f(x)在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．      涉及知识点：一元函数微分学