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一、证明题
1．证明下列结论
贵阳公务员招聘（1）设f（x）是以为周期的可积函数，函数f（x）的傅里叶级数一致收敛于f（x）.证明：
，其中为f（x）的傅里叶系数.
（2）设f（x）是以为周期的连续函数，令.试用函数f（x）的傅里叶系数与表示函数的傅里叶系数与，并证明：
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【答案】（1）由于函数f（x）的傅里叶级数在上一致收敛于f（x），所以
又函数f（x）在区间可积，从而f（x）在区间有界.于是在
上一致收敛.所以
（2）对以为周期的连续函数f（x）都有.
令，显然，F（x）是以为周期的周期函数.下求F（x）的傅里叶系数.
又因为，而，于是
所以成立，其中为f（x）的傅里叶系数.
2．考虑方程组
的解集有连续偏导数，设
，且安徽工业大学
求证在P0附近可用参数方程表示.
【答案】设，由可得在附近，
唯一确定了定义在某上的隐函数
不妨设，由于，因此，在附近，
唯一确定了定义在某上的隐函数
两弹一星指的是
取，在内有
即在附近可用参数方程表示.
3．设f是区间上的连续函数，含参量非正常积分当a=时收敛，证明：在上关于a一致收敛.
国家三支一扶最新政策【答案】令
对于，可知收敛，从而对a一致收敛；对任意单调且，由Abel判别法可知，在[a，b]上关于a一致收敛.
对于，可知收敛，从而对a一致收敛；单调且，由Abel判别法可知，在[a，b]上关于a一致收敛.
因此，在上关于a一致收敛.
4．设u（x，y）在由封闭的光滑曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数。
证明：，其中是u（x，y）沿L外法线方向n的方向导数。
【答案】因为，所以
因为在D上具有连续偏导数，由格林公式得
，
故。
5．证明下列结论.
（1）设函数f（x）在（0，+∞）内连续，a＞0，证明：.
（2）设f（x）是连续函数，证明：。
【答案】（1）令，则.从而
（2）令，则
令，则
于是
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.
所以
.
6．求的最大值，其中
.且证明对任何正数a,b,c，有
函数S的定义域为D:0＜x＜p，0＜y＜p,p＜x+y＜2p
当x→p或y→p或时，即在三角形的三顶点上，.故是S的定义域内唯一的驻点，，所以当时三角面积最大，最大值为.
【答案】构造Lagrange函数
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