第四节组合与概率
一、考点精讲
（一）排列与组合
1．排列组合问题概述
（1）排列
排列是指从n个不同的元素中，取出m个（m≤n）元素（各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列公式：＝＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）。
（2）组合西安事业单位成绩查询入口
组合是指从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素拼成一组（即不排序），叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合公式：＝＝。
2．解题方法
（1）分类法
分类法是指对完成一件事，需要根据某个依据划分为几个类别，各类别内的方法可以独立地完成该事，从而实际的方法数为各类别的方法数直接相加，即分类用加法原理。
具体步骤为：
①根据题目的信息，确定分类的标准；
②确定每个标准下面的取法；
③根据加法原理，求出满足条件的个数。
【例】甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法？（）
A．67
B．63
C．53
D．51
【答案】D
2022年执业医师资格考试时间安排【解析】由“要求女职员比重不得低于一半”可知，选拔可分为三种情况：①2男2女，需先从4个女职员中选两个，再从4个男职员中选两个，最后减去4个职员都从一个科室中选出的2种情形，即有－2＝34种选法；②1男3女，有＝16种选法；③0男4女，只有1种选法。则共有34＋16＋1＝51种选法。
（2）分步法
分步法是指完成一件事，需要将该事划分为多个步骤依次完成，每个步骤内的方法只能保证完成该步，从而实际的方法数为各步骤的方法数直接相乘，即分步用乘法原理。
具体步骤为：
①根据题目的信息，确定为分步方式；
②确定每个步骤下面的取法；
③根据乘法原理，求出满足条件的个数。
【例】某论坛邀请了六位嘉宾，安排其中三人进行单独演讲，另三人参加圆桌对话节目。如每位嘉宾都可以参加演讲或圆桌对话，演讲顺序分先后且圆桌对话必须安排在任意两场演讲之间，问一共有多少种不同的安排方式？（）
A．120
B．240
C．480
D．1440
【答案】B
【解析】第一步，将6人分为演讲组和圆桌对话组，共＝20种安排方式；第二步，将演讲组全排列，共
＝6种安排方式；第三步，将圆桌对话组安排在任意两场演讲之间，共2种安排方式，则一共有20×6×2＝240种安排方式。
（3）捆绑插空法
成都人才考试网①相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。
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②不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。
【例】A、B、C、D、E、F、G，这7位同学站成一排，要求AB两个同学必须相邻的排法共有多少种？（）
A．720
B．1020
C．1440
D．1680
【答案】C
【解析】由于要求AB两个同学必须相邻，把这两个人看作一个元素，与剩余的5个元素进行排序，即有＝6×5×4×3×2×1＝720种。AB和BA的排序是不一样的，即AB的
排序是2种，则满足要求的排序就是720×2＝1440种。
（4）重复剔除法
①多人排成圈问题
N人排成一圈，有种排法。
②物品串成圈问题
N个珍珠串成一条项链，有种串法。
（二）容斥原理
1．概念
容斥原理又称排斥原理，主要用于有重叠部分的计数方法，保证计算即无重复也无遗漏。其基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
2．容斥公式
（1）三集合容斥原理公式：
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C| （2）两集合容斥原理公式：
|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|
（3）对两集合的容斥原理的推论公式：
满足条件1的个数＋满足条件2的个数－都满足的个数＝总数－都不满足的个数＝满足至少一个条件的个数。
3．考查题型
容斥原理中侧重考查两类题型：
京考成绩查询（1）二或三集合容斥原理的整体思维，把满足单个条件的对象当做一个整体，结合题意列方程求解；
（2）多个集合的逆向思维考虑，考虑到正面分析每个条件会比较困难，根据题意可以从逆向考虑不满足的情况，再结合极端情况求解。
【例1】某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队。已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（）。
A．3人
B．4人
C．6人
D．7人桂林人才网首页
【答案】B
【解析】设既参加足球队又参加排球队的有x人，由三集合容斥原理公式|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|可知，30＝20＋12＋10－6－2－x，解得x＝4人。
【例2】某公司招聘员工，按规定每人至多可报考两个职位。结果共42人报名，甲，乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（）。
A．7人
B．8人
C．5人
D．6人
【答案】A
【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x，根据容斥原理公式，有42＝22＋16＋25－8－6－X＋0，解得x＝7人。
（三）抽屉原理
1．定义
在行政职业能力测验中遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，一般可以用抽屉原理解决。抽屉问题的解题原则为反向构造，即假设所有物品并非放在“抽屉”中，而是在自己手中，然后逐一发出，则在不满足题目所给条件下，直到一个什么结果才必须满足目标。这个结果就是题目要求下发出的最多数目。
解抽屉原理的方法是关键词，重要的有“保证”和“最少”两个。
2．运用
抽屉原理（1）：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于2。抽屉原理（1）可以进行推广，把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
抽屉原理（2）：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m＋1。也可以表述成如下语句：把m个物品任意放入n（n≤m）个抽屉中，则一定有一个抽屉中至多要有k件物品。其中k＝（m/n），这里（m/n）表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。
【例】一种水果糖什锦袋里有80颗水果糖，包含8种果味的水果糖各10颗。现在让