二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知某超市2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
万元
908070605040302010O
123456789101112收入支出
月份
根据该折线图可知，该超市
A .2021年的12个月中的7月份的收益最高
B .2021年的12个月中的4月份的收益最低
C .2021年7~12月份的总收益比2021年1~6月份的总收益增长了90万元
D .2021年1~6月份的总收益低于2021年7~12月份的总收益
10.设单位向量a ，b 满足|3a ＋b |＝13，则A .a ⊥b B .|a －b |＝1C .|a ＋b |＝3D .＜a ，b ＞＝60?
11.使直线y ＝a x ＋b 与曲线y ＝x 3
有且只有一个公共点的一组a ，b 的值为A .a ＝3，b ＝－2B .a ＝3，b ＝－3C .a ＝1，b ＝－2D .a ＝－1，b ＝－2
12.已知ω＞0，若函数f （x ）＝s i n （ωx ＋π
4
）在（0，π）内
A .单调递增，则ω∈（0，1
4]
B .单调递减，则ω∈[1
4
，＋∞）
C .有且仅有一个极大值点，则ω∈（14，9
4
]
D .有且仅有一个极小值点，则ω∈（14，1
34
]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f （x ）＝l o g 2（4
x
－a ）－x 为偶函数，则a ＝______.14.若F 1，F 2分别为椭圆C ：x
2
a 2＋y 2b
2＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P 在C 上，△P O F 2
是面积为3的正三角形，则a ＝______.15.正四面体A B C D 的棱长为4，点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，E 为棱A B 的中点，过E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为______；截面面积的最大值为______.辽宁省人力资源考试网
16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则当接收信号为0时，发送信号为1的概率为______.
数学试题卷
第1页（共4页）
数学试题卷
第2页（共4页）
学校
年班
学号
姓
名
○
○
○
○
○○
○
○
（
装
订
线
内
不
要
答
题
）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x |3
x +1
＞1}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝
A .{3}
B .{－1，0}
C .{0，1}
D .{－1，0，1，2}
2.已知（1-i ）2
z ＝2＋2i ，则z ?z ˉ
＝A .2B .2C .1－i D .1＋i 3.在（1-x ）5（1+2x 2
）的展开式中，含有x 项的系数为A .－5B .－4C .4
D .5
4.记S n 为等比数列{}a n
的前n 项和，若S 2＝4，S 6＝7，则S 4＝A .2B .4C .6D .85.设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，n ⊥β，下列命题错误的是A .若m ⊥β，则m ∥n B .若α∥β，则n ⊥αC .若m ⊥α，m ⊥n ，则α⊥βD .若α⊥β，则n ∥α
6.若2c o s （α＋π
6
）＋3s i n α＝7，则t a n 2α＝
A .-43B
D .437.已知双曲线C ：x
2
a 2－y 2b
2＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2
，若C 存在点P ，使得s i n ∠P F 1F 2
s
i n ∠P F 2F 1＝2，则C 的离心率取值范围为
A .（1，22）
B .（22，＋∞）
C .（1，3）
D .（3，＋∞）
8.已知函数f （x ）＝
x 2+x ，x <-12，l o g a （2x +3），x ≥-12若f （x ）的值域为R ，则f (12)的取值范围是
A .（－∞，－12]
B .[－12，0）
C .[－12，＋∞）
D .[－1
4
，＋∞）
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）
数
学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10分）
记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知2S n ＝a n ＋n 2
.（1）证明：数列{a n ＋a n +1}为等差数列；（2）求{a n
}的通项公式.18.（12分）
如图，四边形A B C D 中，c o s ∠B A D ＝1
3
，A C ＝A B ＝3A D .（1）求s i n ∠A B D ；（2）若∠B C D ＝90?，求t a n ∠C B D .
19.（12分）
如图，正三棱柱A B C －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱A A 1，C C 1上的点，已知平面B E F ⊥平面A B B 1A 1，A E ＝2E A 1
＝2，M 是A B 的中点.（1）证明：C M ∥平面B E F ；
（2）若平面B E F 与平面A B C 所成的锐二面角等于45?，求点M 到直线E F 的距离.
A
B
C
D
A
B
C
F
E
A 1
B
1C 1M
○
○
○
○
○
○
○
○
（装
订
线
内
不
要
答
题
）
数学试题卷第3页（共4页）数学试题卷第4页（共4页）
20.（12分）
某人花了800元预定2022年北京冬奥会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票.根据奥组委的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票.另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的800元门票未
成功时，系统自动使他进入200元开幕式门票的预定.假设获得800元开幕式门票的概率是
0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得200元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.
（1）求这个人可以获得冬奥会开幕式门票的概率；
（2）假设这个人获得门票总张数是X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）.
21.（12分）
已知抛物线y 2
＝x 上不同的三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 0，y 0
），直线A C 的斜率与B C 的斜率互为相反数.
（1）证明：直线A B 的方程为x ＋2y 0y ＋y 1y 2＝0；（2）若直线A B 的方程为x ＋22y ＋1＝0，D 在△A B C 内，⊙D 与直线A B ，A C ，B C 都相切，求
⊙D 的方程.
22.（12分）
已知函数f （x ）＝x 2
(1-l n x )+x -1
x
2
.（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）当x ＞1时，a x ＋1
x
－l n x －b ≥0，证明：
（i ）a ＞0；
（i i ）b －a ≤1.
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）
数
学答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D
6．A
7．C
8．B
二、选择题
9．ABD
10．BD
11．BCD
12．AC
三、填空题（第15题第一空2分，第二空3分）
13．－1
14．3＋115．4π，6π
16．
1
19
客观题详解1．解：
由A ＝{x |x －2
x ＋1
＜0}＝{x |－1＜x ＜2}，可得A ∩B ＝{0，1}，选项C 正确．2．解：
由|(1－i)2z|＝|2＋2i|，可得2|z|＝22，故|z|＝2，于是z ·-z ＝|z|2＝2，选项B 正确．3．解：
因为(1－x )5(1＋2x 2)＝(1－x )5＋2x 2(1－x )5，所以(1－x )5(1＋2x 2)的展开式中含有x 项的系
数，等于(1－x )5中含有x 项的系数，为C 15(－1)1＝－5，选项A 正确．
4．解法1：
由题设可知{a n }的公比q ≠1，于是1－q 61－q 2＝74
，可得q 2＝1
2．
由S 44＝1－q 41－q 2
可得S 4＝6，选项C 正确．解法2：
由题设可知{a n }的公比q ≠－1，因此S 2，S 4－S 2，S 6－S 4构成公比为q 2的等比数列．由(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，以及S 2＝4，S 6＝7，可得S 4＝6，或S 4＝－2．当S 4＝6时，数列S 2，S 4－S 2，S 6－S 4的公比q 2＝1
2＞0；
当S 4＝－2时，数列S 2，S 4－S 2，S 6－S 4的公比q 2＝－3
2＜0．
因此S 4＝6，选项C 正确．
5．解：
若n ⊥β，m ⊥β，由“垂直于同一个平面的两条直线平行”可得m ∥n ，选项A 正确．若n ⊥β，α∥β，由“如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面”可得n ⊥α，选项B 正确．
若m ⊥α，m ⊥n ，n ⊥β，不妨设m ∩n ＝A ，设α∩β＝l ，m ∩α＝B ，n ∩β＝C ，m 与n 所确定的平面与l 相交于点M ，则二面角α－l －β的平面角∠BMC ＝90º，可知α⊥β，选项C 正确．
由n ⊥β，α⊥β，可得n ∥α或n ⊂α，选项D 错误．6．解法1：
因为2cos(α＋π
6)＝3cos α－sin α，所以3cos α＋2sin α＝7．
因此
37cos α＋27sin α＝1，于是cos(α－φ)＝1，其中tan φ＝23
．不妨取α＝φ，于是tan2α＝tan2φ＝2tan φ
1－tan 2φ
＝－43，选项A 正确．
解法2：
因为2cos(α＋π
6)＝3cos α－sin α，所以3cos α＋2sin α＝7．
设f (x )＝3cos x ＋2sin x ，则f (α)是的最大值f (x )，因此f ′(α)＝0．即－3sin α＋2cos α＝0，从而tan α＝23
．于是tan2α＝2tan α
1－tan 2α
43，选项A 正确．
7．解：
由题设sin ∠PF 1F 2＝2sin ∠PF 2F 1≠0，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|＝2|PF 1|．因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ．
由|PF 1|＞c －a ，可得c
a ＜3，故C 的离心率取值范围为(1，3)，选项C 正确．
8．解：
当x ＜－12时，函数y ＝x 2＋x 单调递减，且y ∈(－1
4，＋∞)．
当x ≥－1
2
时，函数y ＝log a (2x ＋3)具有单调性．
因为f (x )的值域为R ，所以y ＝log a (2x ＋3)只能单调递减，故0＜a ＜1，且y ∈(－∞，log a 2]．
由(－∞，log a 2]∪(－14)＝R 可得log a 2≥－14，解得0＜a ≤1
16．
于是f (12)＝2log a 2∈[－1
2，0)，选项B 正确．
9．解：
根据该折线图可知，该超市2021年的12个月中的7月份的收益为60万元，最高．12个月中的4月份的收益为10万元，最低．
7~12月份的总收益比1~6月份的总收益增长了100万元．
1~6月份的总收益为140万元，低于7~12月份的总收益为240万元．10．解：
因为|3a ＋b |＝13，所以9a 2＋6a ·b ＋b 2＝13，由|a |＝|b |＝1，可得a ·b ＝1
2，于是
|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1．|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3．cos ＜a ，b ＞＝a ·b |a ||b |＝1
2
，从而＜a ，b ＞＝60°．
因此选项A 错误，选项B 正确，选项C 错误，选项D 正确．11．解：
直线y ＝ax ＋b 与曲线y ＝x 3有且只有一个公共点等价于函数f (x )＝x 3－ax －b 有且只有一个零点．
f ′(x )＝3x 2－a ．
若a ＝3，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．
当b ＝－2时，f (1)＝0，f (－2)＝0，选项A 不符合要求．当b ＝－3时，f (1)＝1＞0，f (－3)＝－15＜0，选项B 符合要求．若a ＝1，当x ＜－33时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当－33＜x ＜3
3
时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞
3
3
时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．当b ＝－2时，f (
33)＝2(1－3
9
)＞0，f (－2)＝－4＜0，选项C 符合要求．若a ＝－1，b ＝－2，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，因为f (1)＝4＞0，f (－2)＝－8＜0，选项D 符合题意．12．解：