⎩
1、当 x → 0 时，假设 x - tan x 与 x k 是同阶无穷小，那么 k 是〔〕 (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
⎧ x x , x ≤ 0, 2、设函数 f (x )⎨x ln x , x > 0, 那么 x =0 是 f (x ) 的〔〕
(A) 可导点，极值点。 (B) 不可导点，极值点。 (C) 可导点，非极值点。 (D) 不可导点，非极值点。
3、设{u n }是单调增加的有界数列，那么以下级数中收敛的是〔〕
∞
u
n
∞
考研时间2022n 1
∞
u n ∞
2 2
(A) ∑
n =1
(B) ∑(-1)
n =1
(C) u n ∑(1-
n =1
)
n +1
(D) ∑(u n +1 - u n )
n =1
4、设函数(x , y ) =
x ，如果对上半平面〔y>0〕内的任意有向光滑封闭曲线 C 都
y
2
有⎰c P (x , y )dx + (x , y )dy = 0 ，那么函数 P (x , y ) 可取为〔〕
(A) x 2
y - (B) 1 x 2
-
(C) 1 - 1
(D)
x - 1 y 3
y y 3
x y
y
5、设 A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，假设 A 2 + A = 2E ，且 A = 4 ，那么二次型 x T Ax 的标准形为()
u n
6、如下图，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
a i1 x +a
i 2
y +a
i3
z =d
i
(i = 1,2,3) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为-
A, A ，那么〔〕
(A)
-
r( A) = 2, r( A) = 3 。
(B)
-
r( A) = 2, r( A) = 2 。
(C)
-
r( A) = 1, r( A) = 2 。
(D)
-
r( A) = 1, r( A) = 1。
7、设 A , B 为随机事件，那么P( A) =P(B) 的充分必要条件为〔〕
(A)P( A ⋃B) =P( A) +P(B) 。
(B)P( AB) =P( A)P(B) 。
--
(C)P( A B) =P(B A) 。
--
(D)P( AB) =P( A B) 。
8、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布N(μ,σ2)，那么P{X-Y<1}〔〕
(A) 与μ无关，而与σ2 有关。
n =0
(C) 与μ，σ2 都有关。
(D) 与μ，σ2 都无关。
二、填空题：9～14 小题，每题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、设函数 f (u ) 可导， z = f (sin y - sin x ) + xy ，那
么
1 cos x ⋅ ∂z + ∂x 1 cos y ⋅ ∂z = 。
∂y
10、微分方程2 yy '- y 2 - 2 = 0 满足条件 y (0) = 1 的特解 y =
。
∞
(-1)n n 11、幂级数∑ (2n )!
x 在(0,+∞) 内的和函数S (x ) =
。
12、设∑ 为曲面 x 2 + y 2 + 4z 2 = 4(z ≥ 0) 的上侧，那
么⎰⎰
z
4 - x 2 - 4z 2 dxdy =
。
13、设 A = (α1 ,α2 ,α3 ) 为3阶矩阵，假设α1 ,α2 线性无关，且α3 = -α1 + 2α2 ，那么线性方 程组 Ax = 0 的通解为
。
⎧
⎪ x ,0 < x < 2,
14、设随机变量 X 的概率密度为 f (x )⎨ 2
，F (x ) 为 X 的分布函数，EX 为 ⎩⎪ 0, 其他,
X 的数学期望，那么 P {F ( X ) > EX -1} =
。
15、(此题总分值 10 分)
设函数 y (x ) 是微分方程 y '+ xy = e - x 2
2
满足条件 y (0) = 0 的特解。
（1） 求 y (x ) ；
（2） 求曲线 y = y (x ) 的的凹凸区间及拐点。
16、(此题总分值 10 分)
设 a,b 为实数，函数 z = 2 + ax 2 + by 2 在点〔3,4〕处的方向导数中，沿方向
l = -3i - 4 j 的方向导数最大，最大值为10。
（1） 求 a,b ；
（2） 求曲面 z = 2 + ax 2 + by 2〔z ≥ 0〕的面积。
17、(此题总分值 10 分)
求曲线 y = e - x sin x (x ≥ 0) 与 x 轴之间图形的面积。
设a n = 1 x n
1- x 2 dx , n = (0,1,2 )
（1） 证明数列{a n }单调减少，且a n =
n -1 a n + 2
n -2 (n = 2,3 ) ；
（2） 求lim
a n
。
n →∞
a n -1
19、(此题总分值 10 分)
设Ω 是锥面 x 2 + ( y - 2)2 = (1- z )2 (0 ≤ z ≤ 1) 与平面 z = 0 围城的椎体，求Ω 的形心坐标。
20、(此题总分值 11 分)
设向量组α = (1,2,1)T ,α = (1,3,2)T ,α = (1, a,3)T ，为 R 3 的一个基， β= (1,1,1)T 在
1
2
3
这个基下的坐标为(b , c ,1)T 。
（1） 求a,b,c ；
（2） 证明αα ， β为 R 3 的一个基，并求αα ， β到α,αα 的过渡矩阵。
2, 3
2, 3
1
2, 3
⎰
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