2022年全国硕士研究生入学统一考试
数学（三）试题及参考答案
一、选择题：1~10题，每小题5分，共50分.
1、当时，是非零无穷小量，给出以下四个命题
  若，则；
    若，则；
    若，则；
    若，则.
其中正确的序号是（    ）
A： ；  B： ；  C： ；  D： .
答案：C.
解析：当时，若，则，故，即，且，故.所以正确.
当时，，则，此时，而时，与不是等价无穷小，故不正确.
当时，若，，所以，正确.
综上，C为选项.
2 、已知，则（    ）
A：有最大值，有最小值；      B：有最大值，没有最小值； 
C：没有最大值，有最小值；    D：没有最大值，没有最小值.
答案：A.
解析：，又，故存在，当时，，所以有最大值和最小值，选项A正确.
3、设函数连续，令，则（    ）
A：；      B：； 
C：；    D：.
答案：C.
解析：，
，，
同理，，
综上，选项C正确.
4、已知，则（    ）
A：； B：； C：； D：.
答案：A.
解析：，先比较的大小，令，此时，此时，即单调递减，从而，可得，从而.
再比较的大小，因，则，从而.综上，可得A正确.
5、设为阶矩阵，，则的特征值为的充分必要条件是（  ）
A：存在可逆矩阵，使得；      B：存在可逆矩阵，使得；   
C：存在正交矩阵，使得 ；      D：存在可逆矩阵，使得；
答案：B
解析：3阶有三个不同的特征值，所以可以相似对角化，故存在可逆矩阵，使得；若存在可逆矩阵，使得，即相似与，而相似矩阵具有相同的特征值，而的特征值为，故的特征值为.因此选B.
6、设矩阵，则线性方程组解的情况为（  ）
A：无解；      B: 有解；    C:有无穷多解或无解 ；    D: 有唯一解或无解；
答案：D.
解析：
（1）当或时，，方程无解
（2）当且时，
（i）当时，，方程有唯一解
（ii）当时，，方程无解；
综述：方程有唯一解或无解，选D.
7、设，若向量组与等价，则的取值范围（  ）
A： ；      B:；
C:  ；    D:.
答案：C
解析：向量组与等价的充要条件是，而
（1）当时，，此时向量组等价
（2）当时
（i）当时，，此时向量组不等价
（ii）当时，，此时向量组不等价
（iii）当时，，此时向量组等价
综上，当时，向量组与等价；选C
8、随机变量，随机变量，且与不相关，则（  ）
A: 2；  B:  4；  C:  6；  D:  10.
答案：D.
解析：由题意知，；
，故选D.
9、设随机变量序列独立同分布，且的概率密度为则当时，依概率收敛于（    ）
A:；  B: ；  C: ；  D: .
答案：B.
解析：，从而，由辛钦大数定律可得，依概率收敛于，从而选B.
10、设二维随机变量的概率分布
若事件与事件相互独立，则（  ）
A： ；      B: ；        C: ；    D: .
答案：B.
解析：，由相互独立，故，解得，由分布律的性质得，
从而，故选B.
二、填空题：11~16题，每题5分，共30分.
11、若          .
答案：.
解析：.
12、          .
答案：.
解析：原式
.
13、已知函数，则        .
答案：.
考研时间2022解析：方法一：，
,
从而.
    方法二：，显然，故为偶函数，且周期，于是为奇函数，为偶函数，为奇函数，从而，而.
14、已知，则        .