2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．当0a >时，函数()()
2
x
f x x ax e =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=
C ．4230x y +-=
D ．2430x y -+=
湖南高考成绩查询20213．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的
学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）
A ．38m =，12n =
B ．26m =，12n =
C ．12m =，12n =
D ．24m =，10n =
4．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3
n n
b a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13
- C ．1
D ．3
5．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种
B ．44种
C ．48种
D ．54种
6．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得
2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）
A ．
118
B ．
54
C ．
14
D ．
18
7．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()2
1m n -+的最小值为（ ） A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
8． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关
的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383
B ．57171
C ．59189
D ．61242
9．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≥⎩
，则目标函数2z x y
=+（ ）
A ．有最大值，无最小值
B ．有最大值，有最小值
C ．无最大值，有最小值
D ．无最大值，无最小值
11．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<
D ．b c a <<
12．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平行四边形ABCD 中，60,4,2BAD AB AD ∠=︒==，E 为边CD 上一点（不C D 、与重合），将平行四边形
ABCD 沿BE 折起，使五点,,,,A B C D E 均在一个球面上，当四棱锥C ABED -体积最大时，球的表面积为________.
14．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线左支交于,A B 两点，
290AF B ∠=，2AF B ∆7
，则双曲线的离心率为________.
15．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天.
16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3
3
y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方
程为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为
1333x t
y t ⎧=+⎪
⎨=+⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线2C 的极坐标方程；
（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.
18．（12分）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知△ABC 的面积为
2
3sin a A
(1)求sin sin B C ;
(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.
19．（12分）在四棱椎P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，5PA =，43PB =6AB =，PO AD ⊥，O ，E
分别为AD ，AB 中点.60BAD ∠=︒.
（1）求证：AC PE ⊥；
（2）求平面POE 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值. 20．（12分）已知函数2
()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()1112221
2,,P x f x P x f x x
x <，存在()012,x x x ∈，使得函数
()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：12
02
x x x +<
. 21．（12分）已知函数()()ln 1,1
x a
f x x a R x -=++∈+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）函数2
2
()g x x x
=+
，若对于()[]121,,1,2x x ∀∈-+∞∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围. 22．（10分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311mm 的为“长纤维”，其余为“短纤维”） 纤维长度 (0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500]
甲地（根数） 3 4 4 5 4 乙地（根数）
1
1
2
11
6
（1）由以上统计数据，填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”. 甲地 乙地 总计 长纤维 短纤维 总计
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