2020-2021学年甘肃省民乐一中高一创新实验班招生考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数中，自变量x的取值范围是 （ ）
A．x＞2 B．x≥2 C.x≥2且x≠0 D. x≠0
2.化简算式+ 等于 （ ）
A．1 B． 1+２ C． D．
3. 如图是六个棱长为1的正方块组成的一个几何体，它的左视图的面积是 ( ) A．6 B．5 C．4 D．3
4．若函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1<y2，则x的取值范围是 （ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
5.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 （ ）
A． B． C． D．
6. 定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7. 用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是
( )
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
8.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数 （ ）
A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小
C．不变 D．随着θ的增大，先增大后减小
A．0 B．1 C．2 D．3
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,直线l垂直于底边BC于点F，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E，F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是 （ ）
二、填空题（本大题共8小题,每小题4分,共32分.）
11. 因式分解：3a4﹣3b4＝ ．
12.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，其底面是正方形、侧面是全等的等腰三角形.底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是（﹣1），它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
13.把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解式是y＝x2-3x+5，则a+b+c=__________.
14. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
15.如图，AB是圆O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于 .
16．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第 个图形中共有210个小球．
17.如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
18.如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是DC边上的一个动点，E是AD边的中点,则线段PE,PM的和PE+PM的最小值是 .
三、解答题：本大题共10小题,共78分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（5分）初中数学教科书告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：,求作：的平分线
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C；
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
20.(5分)先化简，再从-2，-1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21. (6分) 如下是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，求江水的流速为多少？
甲：； 乙：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲同学所列方程中的x表示_________ ________ _____；
乙同学所列方程中的y表示________________________________________；
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
22.(6分)如图，某楼房AB顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C,D,A，在点C处测得天线顶端E的仰角为，从点C走到点D，测得CD=5m，从点D测得天线底端的仰角为，已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25m.求天线BE的高度．（结果保留根号）
23.(8分)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出两种暑期优惠活动方案．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
24. (7分)如图，已知一次函数=x-1的图象与反比例函数=(x＞0)的图象相交于点A（3，m），与y轴交于点B.
（1）求m和k的值；
（2）设点P（x,y）(x＞3)是反比例函数图象上的一点，过点P作直线PC⊥x轴于点C,交=x-1的图象于点D，连接BP，OA，若,求点P的坐标.
售价x(元/件) | 50 | 60 | 80 |
周销售量y(件) | 100 | 80 | 40 |
周销售利润w(元) | 1000 | 1600 | 1600 |
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注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)①求y关于x的函数解式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元;
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求m的值.
26. (10分)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，且OA=4,OC=6,点O为原点，将矩形OABC绕O点顺时针旋转45°后停止.
（1）求矩形OABC在整个旋转过程中所扫过的面积；
（2）如图2，在旋转过程中，是否存在某一位置，使得BC边与x轴的交点N恰好是BC的中点，若存在，求出此时点A的坐标；若不存在，请说明理由.
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD和CF的长；
28．（12分）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为抛物线对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的解式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
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