高数
三角函数变换
cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sinAcosB=1
2
[sin(A+B)+sin(A−B)]sinxcosx=
1
2
sin2x
sinAsinB=1
2
[cos(A−B)−cos(A+B)]sin2x=
1
2
(1−cos2x)
cosAcosB=1
2
[cos(A−B)+cos(A+B)]cos2x=
1
2
(1+cos2x)
cos2x=1−tan2x
1+tan2x
sin2x=
2tanx
1+tan2x
arcsinx+arccosx=π
2arctanx+arccotx=π
2arctanx+arctan
1
x
=π
2
圆柱体积V=πr2h圆锥体积V=1
3
πr2h球体积V=
4
3
πr3
椭圆面积S=πab
抛物线y2=2px交点坐标(p
2
,0)准线x=−
p
2
点到直线距离ax+by+c
a+b
第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。f(x0+0)=f(x0−0)≠f(x0)跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。f(x0+0)≠f(x0−0)
第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞
重要极限
lim x→0sinx
x
=1lim
x→∞
(1+
1
x
)
x
=e lim
x→0
(1+x)
1
x=e
x趋向于0时的等价无穷小
sinx∼x tanx∼x arcsinx∼x arctanx∼x1−cosx∼1
2
x2
ln (1+x )∼x  log a (x +1)∼
x
lna
e x −1∼x  a x −1∼xlna n
√
1+x −1∼x n
(1+bx )a
−1∼abx 导数公式
(a x )'=a x lna  (log a x )'
=
1xlna
(tanx )'=sec 2x  (cotx )'=−csc 2x  (secx )'=secx tanx  (cscx )'=−cscx cotx (arcsinx )'√1−x  (arccosx )'√1−x  (arctanx )'=11+x 2 (arccotx )'
=−11+x 2
[sin (ax +b )](n )=a n sin (ax +b +n
2
π)
[cos (ax +b )](n )=a n cos (ax +b +n
2
π)
(1
ax +b )(n )
=(−1)n a n n !(ax +b )
n +1[ln (ax +b )](n )
=(−1)n −1(n −1)!a n
(ax +b )
n
积分公式
√x ±a
ln ∣x +√x 2±a 2∣+C dx a −x
arcsin x
a +C ∫dx x 2−a
2
=12ln ∣x −a x +a ∣
+C ∫
dx x 2+a
2
=1a arctan x a +C ∫
dx a 2x 2+b
2
=1ab arctan ax
b +
c ∫secxdx =ln ∣secx +tanx ∣+c
∫cscxdx =ln ∣cscx −cotx ∣+c
∫√a 2
−x 2
dx =a 22arcsin x 2+x 2
√a 2−x 2
+c ∫√x 2
±a 2
dx =x 2√x 2±a 2±a 22ln ∣
x +√x 2±a 2∣+c
∫0π2sin n
xdx =∫0π2cos n xdx =
(n −1)!!n !!π
2(n 为偶数)
∫0π2sin n
xdx =∫0
π2cos n xdx =
(n −1)!!
n !!
(n 为奇数)∫
0π2f (sinx )dx =∫0
π2f (cosx )dx
∫0
π
xf (sinx )dx =π2
∫0πf (sinx )dx =π∫0π
2f (sinx )dx ∣∫
x
考研资讯免费f (t )dt ∣
≤∫0x
∣f (t )∣dt
∫0a
f (x )dx =
12∫0
a
[f (x )+f (−x )]dx ∫−a
a
f (x )dx =∫0a
[f (x )+f (−x )]dx
f x '(x ,y ),f y '(x ,y )在(x 0,y 0)连续⇒z =f (x ,y )在(x 0,y 0)可微⇒f (x ,y )在(x 0,y 0)连续
二重积分特点
积分区域D 关于x 轴对称
∬D f (x ,y )d σ=0
f 为y 的奇函数，即f (x ,−y )=−f (x ,y )
∬D
f (x ,y )d σ=2∬D 1
f (x ,y )d σ
f 为y 的偶函数，即f (x ,−y )=f (x ,y )
积分区域D 关于y 轴对称
∬D
f (x ,y )d σ=0
f 为x 的奇函数，即f (−x ,y )=−f (x ,y )
∬D
f (x ,y )d σ=2∬D 1
f (x ,y )d σ
f 为x 的偶函数，即f (−x ,y )=f (x ,y )
积分区域关于原点对称
∬D f (x ,y )d σ=0
f 为x，y 的奇函数，即f (−x ,−y )=−f (x ,y )
∬D
f (x ,y )d σ=2∬D 1
f (x ,y )d σ
f 为x，y 的偶函数，即f (−x ,−y )=f (x ,y )
函数展开式
e x
=1+x +12!x 2+⋯+1n !x n =∑k =0n
x k
k !
sinx =x −13!x 3+15!x 5−⋯+(−1)n −11(2n −1)!x 2n −1=∑k =0
n
(−1)
k x 2k +1(2k +1)!cosx =1−12!x 2+14!x 4−⋯+(−1)n 1(2n )!x 2n =∑k =0n
(−1)k x 2k (2k )!ln (1+x )=x −12x 2+13x 3+⋯+(−1)n −11n x n =∑k =1
n (−1)k −1x k
k 1
1+x =∑k =0
n
(−1)k x k
1
1−x =∑k =0
n
x k
多元函数极值：驻点(x0,y0)满足f x'(x0,y0)=0，f y'(x0,y0)=0
且A=f xx''(x0,y0) ,B=f xy''(x0,y0),C=f yy''(x0,y0)
B2−AC<0时，(x0,y0)是极值点，A>0时是最小值，A<0时是最大值。
B2−AC>0时，(x0,y0)不是极值点。
B2−AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。
一阶线性微分方程：y'+p(x)y=q(x)
公式法通解：y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]
二阶常系数线性微分方程：y''+py'+qy=0，特征方程：r2+pr=q=0
Δ=p2−4q>0时，有两个相异实根r1r2，通解y=f(x)=C1e r1x+C2e r2x
Δ=p2−4q=0时，有二重根r，通解y=f(x)=(C1+C2x)e rx
Δ=p2−4q<0时，有共轭虚根a±iβ，通解y=f(x)=e ax(C1cosβx+C2sinβx)
二阶常系数非齐次微分方程：y''+py'+qy=f(x)
f(x)形式特解形式f(x)=P
n
(x)
P
n (x)为n次多项式
0不是特征根，y*=R n(x)
0是单根，y*=xR n(x)
0是而重根，y*=x2R n(x)
f(x)=Me ax
a≠0，M≠0a不是特征根，y*=Ae ax a是单根，y*=Axe ax
a是二重根，y*=Ax2e ax
f(x)=Mcosβx+Nsinβx M，N不全为0，β>0±iβ不是特征根，y*=Acosβx+Bsinβx ±iβ是特征根，y*=x(Acosβx+Bsinβx)
差分一般形：y t+1+ay t=f(t)，通解y t=C(−a)t
f(x)形式特解形式f(t)=P
n
(t)
P
n (t)为n次多项式
a+1≠0，y=Q n(t)
a+1=0，y=tQ n(t)
f(t)=Mb t a+b≠0，y=Ab t
a+b=0，y=Atb t f(t)=Mcosβt+Nsinβt y=Acosβt+Bsinβt
x =a 是垂直渐近线lim x →a f (x )=∞，必须是a 左右都趋于无穷。x →+∞时，y =b 是水平渐近线⇔lim x →+∞
f (x )=b x →+∞时，y =kx +b 是斜渐近线⇔lim
x →+∞
f (x )x
=k ，且lim x →+∞[f (x )−kx ]=b 在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x →−∞时的情况。
级数
∑n =1
∞
U n
收敛的必要条件是lim n →∞
U n =0若级数
∑n =1
∞U n
收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。
∑n =0∞
aq n
，当∣q ∣<1时收敛，当∣q ∣≥1时发散∑n =0
∞
1n p
，当p >1时收敛，当p ≤1时发散。
正项级数审敛法之一：比较判别法
∑n =1
∞
U n
和
∑n =1
∞
V n
为正项级数，且lim x →∞V n
U n
=A 当0<A <+∞时，
∑n =1
∞
U n
和
∑n =1
∞
V n
有相同的敛散性。当A =0时，
∑n =1
∞
U n
收敛，则
∑n =1
∞
V n
收敛；
∑n =1
∞
V n
发散，则
∑n =1
∞
U n
发散。当A =+∞时，
∑n =1
∞V n
收敛，则
∑n =1
∞U n
收敛；
∑n =1
∞U n
发散，则
∑n =1
∞V n
发散。
正项级数审敛法之二：比值判别法lim n →∞
U n +1
U n
=p 当p <1时，级数∑n =1∞
U n
收敛当p >1时，级数
∑n =1
∞
U n
发散
当p =1时，比值判别法失效