数学建模
习
题
习题一
1.在节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。试构造模型并求解。
2.模仿节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。
3.利用节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。将时间分为若干段，分别确定增长率r。
（2）阻滞增长模型。换一种方法确定固有增长率r和最大容量。
4.说明节中Logistic模型(9)可以表为,其中是人口增长出现拐点的时刻,并说明与r, 的关系.
5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为,t到t+t时间内人口的增长与-东航飞行员招聘成正比例(其中为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么
支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如果是n支球队比赛呢
8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车
经过丙站的时刻表是如何安排的。
9.某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一旦他提前下班搭早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间
10.一男孩和一女孩分别在离家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公里和2公里每小时的速度步行回家。一小狗以6公里/小时速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程
习题二
1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍,学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:
（1）按比例分配取整数的名额后,乘下的名额按惯例分给小数部分较大者.
（2）节中的Q值方法.
（3）d‘Hondt方法:将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表:
1
2
3
4
5
---
A
235
…..
B
333
111
….
C
432
216
144
108
….
将所得商数从大到小取前10(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗
  如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其它的方法吗.用你的方法分配上面的名额.
2.用微积分的方法导出节的公式(2)
3.在节中考虑8人艇分重量级组(桨手体重不超过86kg和轻量级组(桨手体重不超过73kg,建立
模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%.
4.用节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念,讨论以下雇员和雇主之间的协议关系:(1)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标,画出雇员无差别曲线族的示意图.解释曲线为什么是你画的那种形状.
(2)如果雇主付计时工资,对不同的工资率(单位时间的工资)画出雇员计时工资线族,根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族,讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议.
(3)雇员和雇主已经达成了一个协议(工作时间t1和工资w1).如果雇主想使雇员的工作时间增加到t2,他有两种办法:一是提高计时工资率,在协议线中另一点(t2,w2)达成新的协议;二是实行超时工资制,即对工时t1仍付原计时工资,对工时t2-t1付给更高的超时工资.试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利,指出这个结果的条件.