2024届黑龙江哈尔滨师范大学附中高三下学期六校教学联盟期末联合考试数学试题试
卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
2．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在等腰直角三角形ABC 中，,222
C CA π
∠=
=，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离
为23ABCD 的外接球的表面积为（    ）.
A ．5π
B ．
205
3
C ．12π
D ．20π
4．己知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为3F 到l 的距离为（    ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
5．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22
311
x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（  ）
A ．36,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．3
[
,1)3
C ．3(0,
]3
D ．6[
,1)3
6．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（  ）
A ．2
B ．83
C ．6
D ．8
7．函数2()1cos 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（    ） A ． B ．
C ．
D ．
8．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（    ） A ．
21
33
a b + B ．1
233
a b +
C ．
3455
a b + D ．
43
55
a b + 9．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（    ） A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
10．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）
A ．84
B ．54
C ．42
D ．18
11．已知,x y 满足0
01
x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
，则32y x --的取值范围为（    ）
A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．(1,2]
C ．(,0][2,)-∞+∞
D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞
12．设数列{}()*
n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为n
S
，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（    ）
A ．128
B ．65
C ．64
D ．63
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知数列{}n a 递增的等比数列，若23
12a a +=，1427a a =，则n a =______.
14．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221x
g x ⎡⎤-+=⎣⎦，
当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.
15．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离等于________.
16．如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若4
5
AF BC ⋅=-，则AE AC ⋅=____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c 其中2,3a c ==（1）若角A 为锐角，且3
sin 3
C =
，求sin B 的值； （2）设2()3cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围.
18．（12分）在ABC ∆，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos cos 2sin cos 0B A A C +-=. （1）求cos C 的值；
（2）若5a =，AC 边上的中线17
2
BM =
，求ABC ∆的面积. 19．（12分）已知函数()()ln 1f x a x =+,()3
1,3
g x x ax =
- ()1x h x e =-． （1）当x ≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围； （2）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数； （3）求证：
1010953000
10002699
e <<（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12332x a t y a t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数，a R ∈）.在以坐标原点为
极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
3cos 24sin 3ρθρθ+=.
（1）若点()2,0A 在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；
（2）已知0a >，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且||PQ 的最小值为
6
2
，求a 的值. 21．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin 3sin B C A
b c C
+=. （1）求b 的值；
（2）若cos 3sin 2B B +=，求ABC ∆面积的最大值.
22．（10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，113AB BC AA AC ====，，点D E ，分别为AC 和11B C 的中点.
（Ⅰ）棱1AA 上是否存在点P 使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，写出PA 的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）求二面角A BE D --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【解析】
，
，
∴．
故选． 2、B 【解析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示， 56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息出对应算筹表示为B 中的．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题． 3、D 【解析】
如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】
ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===
翻折后23AB =(2
22
2223
1
哈尔滨师范大学
cos 222
2
ADB +-∴∠=
=-⨯⨯ ，
120ADB ∴∠=，