2023年湖北省武汉市洪山区华中师大一附中自主招生数学试卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的）
1．（5分）若（a2﹣4）x2+（a+2）x+3＝0是关于x的一元一次方程，则2a+1的值为（）
A．5B．﹣3C．﹣3或5D．2
2．（5分）新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度27mm左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到37mm以上．用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，彩鲜艳，吸水性极好．某商场中有5款优质毛巾，其中有3款是用新疆超长棉纱制成的，在这5款毛巾中任选2款，至少有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（）
A．B．C．D．
3．（5分）在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，A说：是B，B说：是D，C说：是A，D说：B说错了，E说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（）
A．B B．C C．D D．E
4．（5分）如图，AB为⊙O的直径，D是半圆中点，弦CD交AB于点E．若CE＝2，DE＝4，则⊙O的半径为（）
A．2B．2C．2D．2
5．（5分）如图，已知点E是正方形ABCD内的一点，连接EA、EB、EC，如果EA＝2，EB＝1，EC＝，则四边形AECD的面积为（）
A．B．+9C．+D．+9
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题7分，共21分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项是正确的，只选一项、选错或不选，均为零分，漏选得3分，选出全部正确选项得7分）
A．赛跑中，兔子共睡了40分钟
B．兔子在整个赛跑过程中的平均速度是10米/分钟
C．兔子到达终点时，乌龟已经到达了8分钟
D．兔子刚醒来时，乌龟已经领先了300米
（多选）7．（7分）在△ABC中，CA＝CB，P是△ABC外一动点，满足∠CAP+∠CBP＝180°，设∠CPA ＝α，则下列结论正确的有（）
A．∠CPA＝∠CPB
B．设四边形ACBP的面积为S，则S≤AB•CP
C．若α＝30°，BC＝4，则PC的最大值为8
D．若α＝60°，PA＝4，PB＝2，则PD的长度为
（多选）8．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的对称轴为x＝1，其图象如图所
示，则下列选项正确的有（）
A．|abc|+abc＝0
B．当a≤x≤1﹣a时，函数的最大值为c﹣a2
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C．关于x的不等式ax4+bx2＞a（x2﹣2）2+b（x2﹣2）的解为x＞或x＜﹣
D．若关于x的函数t＝x2+bx+1与关于t的函数y＝t2+bt+1有相同的最小值，则|b﹣1|≥
三、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。其中11、12题每空3分）
9．（6分）已知x＝，则代数式2x3﹣3x2﹣7x+2022的值为．
10．（6分）如图，C、D两点在双曲线y1＝（x＞0）上，A、B两点在双曲线y2＝（m＞4，x＞0）上，若AC∥BD∥x轴，且BD＝3AC，则△OCD的面积为．
11．（6分）如图，在四边形ABCD中，BC＝10，E是线段BC上的一动点，∠AED＝∠ABC＝∠DCB＝60°．（1）当BE＝3时，AB•CD＝；
（2）当BE＝5时，AE∥CD，点E到AD的距离是．
12．（6分）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），且﹣1＜x1＜0．（1）下列说法正确的有．（将正确选项的序号填在横线上）
①若x2＞0，则c＜0；
②|x1|+|x2|＝；
③若|x2﹣x1|＝2，则|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6；
④若＝7，则b2＝﹣c．
（2）某数学兴趣小组为了增加此题的趣味性，将题目改成：若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且﹣1＜x1＜x2＜0，其中a，b，c均为整数，则a的最小值为．四、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
13．（10分）（1）计算：（5+xy﹣）÷（÷）（x＞0，y＞0）．（2）若关于x的方程+＝没有实数根，求实数k的值．
14．（12分）关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，以这两个根作为等腰△ABC的底边长和腰长，这样的等腰三角形有且仅有一个．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求该等腰三角形外接圆半径．
15．（14分）已知抛物线y＝x2．
（1）设P为直线y＝x在第一象限图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，将△OPM沿OP 翻折，得到△OPN（如图1所示），若点N恰好在抛物线上，求点N的坐标；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线在第一象限图象上的两个动点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D（如图2所示），记△OAB的面积为S1，梯形ABDC的面积为S2，若5S1＝2S2，CD ＝2，求直线AB的解析式．（参考公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
16．（14分）在△ABC中，D是BC中点，F是射线AC上的一点．
（1）如图1，连接FD并延长交AB于点E，求的值；
（2）如图2，∠ACB＝90°，BF交AD于点G，且∠CGD＝90°，tan∠FBC＝，求的值．
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