人大附中高三年级2021数学收官考试之期末模拟
一、单选题(共40分)
1.设集合3{}{|0,123log }1A B x x ==<,,，，则R A C B = (
)A.{0.1} B.{1,2} C.{1,3} D.{0,3}
2.集合()()(){}1|1M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是(
)
A.M R =∅
B.0M
∉C.若z M ∉，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限
D.若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数3.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于A ,B ，则OA OB ⋅= ()
A.sin(α-β)
B.sin(α+β)
4.已知α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且αβ⊥，则l β⊥是l //α的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知直线13470l x y -+=：与直线()26110l x m y m -++-=：
平行，则1l 与2l 之间的距离为(
)A.1 B.2 C.3 D.4
6.若2()()()x x f x e e ax bx c -=-++是偶函数，则一定有(
)
A.b =0
B.ac =0
C.a =0且c =0
D.a =0，c =0且b ≠0
7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线()22
2210,0y x a b a b
-=>>的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为(
)A.2213
y x -= B.2213x y -=C.22
193y x -= D.22139
北京考试网y x -=8.对圆221x y +=上任意一点(,)P x y ，若34349x y a x y -+---的值都与x ，y 无关，则实
数a 的取值范围是(
)A.5a ≤- B.-5≤a ≤5 C.5a ≤-或5a ≥ D.5
a ≥9.已知正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 、R 分别是线段11BB AB A C 、、上的动点，观察直
线CP 与1D Q ，CP 与1D R ，得出下列结论：
①对于任意给定的点Q ，存在点P ，使得1CP D Q ⊥;
②对于任意给定的点P ，存在点Q ，使得1D Q CP ⊥;
③对于任意给定的点R ，存在点P ，使得1CP D R ⊥;
④对于任意给定的点P ，存在点R ，使得1D R CP ⊥；
其中正确的结论是(
)A.①③ B.②③
C.①④
D.②④10.若数列{}n a 满足：0A B R AB ∃∈≠,,，使得对于*n N ∀∈，都有21n n n a Aa Ba ++=+,
则称{}n a 具有“三项相关性”下列说法正确的有(
)
①若{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性”
②若{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性”
③若{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”
④若{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足A +1=B ,12a a B +=,n n b B =,{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 则对*n N ∀∈,n n S T <；恒成立.
A.③④
B.①②④
C.①②③④
D.①②
11.5
321x ⎫⎪⎭-的展开式中的常数项是__________.12.10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是__________.
13.已知抛物线2:C y ax =的准线方程为18
x =-，则a =_________.14.小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第15题，只有完全选对得5分，一旦错选或
者少选得0分。已经题目有四个选项①②③④，小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了①正确，④错误。②③无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：②有23
的可能性是对的，③有13
的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择___________.15.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2
x x f f x x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，下列4个结论正确的是__________.(只有完全选对才得5分，一旦错选或者少选得0分).
①任取[)12,0,x x x ∈+，都有()()122f x f x -≤;
②()()22()f x kf x k K N =+∈*，对一切0[)x ∈+∞，恒成立；
③若关于x 的方程()()0f x m m =<；有且只有两个不同的实根12,x x ，则123x x +=;
④函数()()ln 1y f x x =--有5个零点
16.(13分)已知△ABC 同时．．
满足下列四个条件中的三个：①3A π
=②2
cos 3B =-③a =14④b =6
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)求△ABC 的面积.
赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A 1，A 2，A 3，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，B 2中的一个.
(1)记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐A 1，A 2，A 3玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐，B 2玩偶；求()6P E 及()5P F ；
(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45
：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为
14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12
：如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q .①求2Q ；
②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）.
18.(14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB //CD ，
且CD =2，PA =AB =BC =1，AB ⊥BC .
(1)求证：AD ⊥PC ；
(2)求锐二面角D -PC -B 的余弦值；
(3)若PB 的中点为M ，判断直线AM 与平面PDC 是否相交，如果相交，求出P 到交点H 的距离，如果不相交，说明理由.
19.(15分)已知椭圆22221x y a b +=的短轴长为22直线2:a l x c
=与x 轴交于点A ，椭圆的右焦点为F ，|OF |=2|FA |，过点A 的直线与椭圆交于P ，Q 两点.
(1)直接写出椭圆的方程及离心率；(2)若0OP OQ ⋅= ，求直线PQ 的方程；
(3)过点P 且垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点M ，证明：O ,F ,M 三点共线，并直接写出△AMQ 面积的最大值.
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