2019八上几何综合题
2019昌平八上
27. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°. 过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD，直线BD交直线AP于点E．
（2）在图27-1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度数；
图27-1 图27-2
图27-1 ……………1分
（2）连接AD.
由轴对称的性质可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC. ……2分
∵AB=AC,
∴AD=AB. ………………………3分
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD=150°.
∴∠ABE=15°. ……………………………4分
（3）补全图形，连接CE，AD.
由轴对称的性质可得：CE=DE，AD=AC，
∠ACE=∠ADE. ……………5分
∵AB=AC，
∴AD=AB.
∴∠ADB=∠ABD.
∴∠ACE=∠ABD.
∵∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ACE+∠ABE=180°.
在四边形ABEC中，
∵∠BAC+∠ABE+∠BEC+∠ACE=360°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BEC =90°. ……………………………………………………………6分
∴BE2+CE2=BC2.
∴EB2+ED2=BC2. …………………………………………………………7分
2019朝阳八上
27．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
（1）如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1；
②求证：∠EAC=∠EDC；
（2）如图2，点C在直线AB的上方， 0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
27．解：
（1）①补全图形如图所示．
②证明：∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAC=∠B．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠B．
∴∠EAC=∠EDC．
（2）BE=CE+DE．
证明：如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．
∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．
∴∠EAC=∠EBC．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=60°．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠EBC．
∴∠EDC=∠EAC．
∵∠1=∠2，
∴∠DEA=∠ACD=60°．
∴∠AEB=120°．
∵EA=EB，m⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=60°．
∴△CEF是等边三角形．
∴∠CEF=∠CFE=60°．
∴△CDF≌△CBE．
∴DF=BE．
∴BE=CE+DE．
2019大兴八上
28. 已知:如图, 过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，CE，其中CE交直线AP于点F.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAB=16°，求∠ACF的度数；
（3）如图，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明.
28.（1）补全图形，如图所示.
………………………………1分
（2）解：连接AE，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴对称轴AP是EB的垂直平分线.
∴AE=AB，∠EAP=∠BAP=16°…………………………………2分
∵等腰直角三角形ABC,
∴AB=AC，
∠BAC=90°
∴AE=AC.
∴∠AEC=∠ACF. …………………………………………………3分
∴2∠ACF+32°+90°=180°.
∴∠ACF=29° ……………………………………………………4分
（3）AB，FE，FC满足的数量关系：FE2+FC2=2AB2…………………5分
证明：连接AE，BF，设BF交AC于点G，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴对称轴AP是EB的垂直平分线.
∴AE=AB，FE=FB.
∵AF=AF，
∴△AEF≌△ABF
∴∠FEA=∠FBA.
∵AB=AC，
∴AE=AC.
∴∠ACE=∠AEC.
∴∠ACE=∠ABF. …………………………………………6分
又∵∠CGF=∠AGB，
∴∠CFB=∠BAC=90°. ………………………………………7分
∴FB2+FC2=BC2.
∵BC2=2AB2，
∴FE2+FC2=2AB2 ………………………………………………8分
2019东城八上
27．（本小题6分）
（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.
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