2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
A. B.
C. D.
2. 复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 《中国共产党党旗党徽制作和使用若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A. 64 B. 96 C. 128 D. 160
7. 函数是
A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为
8. 某一时间段内，从天空降落到地面上雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
9. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A. B. C. D.
10. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11. 在的展开式中，常数项为__________．
12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
14. 若点关于轴对称点为，写出一个取值为___．
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：周长为；
条件③：的面积为；
北京考试网17. 如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
18. 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
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