2022-2023江苏省南京市区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+=0 D．（x﹣1）（x+2）=1
2．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=16
3．关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（ ）
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知底该市汽车拥有量为10万辆，设底至底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
5．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
6．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．25°
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7．方程x2+x=0的根是 ．
8．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为 ，两个根的积为 ．
10．如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=56°，则∠BDC的度数是 ．
11．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为 ．
12．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为 °．南京考试网入口
13．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为 ．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．
15．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是 ．
16．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（共10小题，满分88分）
17．（15分）解方程：
（1）x2+4x+4=0
（2）（x﹣1）2=9x2
（3）x（x+1）=3（x+1）
18．（6分）一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．
（1）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为1，求出m的值及方程的另一个根．
20．（7分）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求的长．
22．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若 BC=a，AC=b，求⊙O的半径（用含a、b的代数式表示）．
23．（8分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那
么它的下部应设计为多高？
24．（10分）用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分线BF交AE于点F，求证：BE=EF．
26．（9分）在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．
问题情境：
（1）如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为 ．
操作实践：
（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．
（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
迁移应用：
（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m）．过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为 ．
2022-2023江苏省南京市区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣2x﹣1 C．x2+=0 D．（x﹣1）（x+2）=1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的
最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误；
B、是多项式，故B错误；
C、是分式方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
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