2022届高三年级第一次模拟考试(一)
数学
(满分150分，考试时间120分钟)
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合M ＝{y|y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N 等于( )
A. [－1，＋∞)
B. [－1，0)
C. [0，1]
D. (0，1]
2. 在等比数列{a n }中，公比为q.已知a 1＝1，则0<q<1是数列{a n }单调递减的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计，得数学成绩X ～N(110，100)，则该班数学得分大于120分的学生人数约为( )
(参考数据：P(|X －μ|<σ)≈0.68，P(|X －μ|<2σ)≈0.95) A. 16 B. 10 C. 8 D. 2
4. 若f(α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f(α)]2等于( ) A. f(α) B. f(2α) C. 2f(α) D. f(α2)
5. 已知直线2x ＋y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( )
A. －4或2
B. －2或4
C. －1±3
D. －1±6
6. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(3，4)，向量OC →＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC
→|的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 5
7. 已知α＋β＝π
4(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( ) A. 2
2 B. 1 C. －2－2 2 D. －2＋2 2
8. 已知f(x)＝⎩⎨⎧
e x －
4，x ≤4，（x －16）2
－143，x>4，
则当x ≥0时，f(2x )与f(x 2)的大小关系是( )
A. f(2x )≤f(x 2)
B. f(2x )≥f(x 2)
C. f(2x )＝f(x 2)
D. 不确定
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 若函数f(x) ＝cos 2x ＋sin x ，则下列关于f(x)的性质的说法中正确的有( )
A. 函数f(x)为偶函数
B. 函数f(x)的最小正周期为π
C. 函数f(x)既有最大值也有最小值
D. 函数f(x)有无数个零点
10. 若椭圆C ：x 29＋y 2
b 2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，则能使以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点的b 的值有( )
A. b ＝ 2
B. b ＝3
C. b ＝2
D. b ＝ 5
11. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1，记在数列{a n }的前n ＋2(n ∈N *)项中任取两项都是正数的概率为P n ，则下列结论中正确的有( )
A. P 1＝1
3
B. P 2n <P 2n ＋2
C. P 2n －1<P 2n
D. P 2n －1＋P 2n <P 2n ＋1＋P 2n ＋2
12. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝PA ＝2.记四棱锥P-ABCD 的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，BC 的中点为E ，则下列结论中正确的有( )
A. l ∥BC
B. AB ⊥PC
C. 平面PDE ⊥平面PAD
D. l 被球O 截得的弦长为1 三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若函数f(x)＝(x ＋3)5＋(x ＋m)5是奇函数，则m ＝________．
14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3b ，则cos B 的最小值为________．
15. 计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制，一个十进制数n(n ∈N *)可以表示成二进制数(a 0a 1a 2…a k )2，k ∈N ，则n ＝a 0·2k ＋a 1·2k －1＋a 2·2k －2＋…＋a k ·20，其中a 0＝1，当i ≥1时，a i ∈{0，1}．若记a 0，a 1，a 2，…，a k 中1的个数为f(n)，则满足k ＝6，f(n)＝3的n 的个数为________．
16. 已知：若函数f(x)，g(x)在R 上可导，f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x)．英国数学家泰勒发现了一个恒等式e 2x ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ＋…，则a 0＝________， n ＝1
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a n ＋1na n ＝________．(第一空2分，第二空3分) 四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
从①sin D ＝sin A ；②S △ABC ＝3S △BCD ；③DB →·DC →＝－4这三个条件中，任选一
个补充在下面的横线中，并完成解答．
已知点D 在△ABC 内，cos A>cos D ，AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，若________，求△ABC 的面积．
已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋4，数列{b n}的首项为b1＝2.
(1) 若{b n}是公差为3的等差数列，求证：{ab n}也是等差数列；
(2) 若{ab n}是公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n项和．
佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断地进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度2018 2019 2020 2021
年度序号x 1 2 3 4
不戴头盔的人数y 1 250 1 050 1 000 900
(1) 请利用所给数据求不戴头盔的人数y与年度序号x之间的回归直线方程
＝x＋，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；
不戴头盔戴头盔
伤亡7 3
不伤亡13 27
参考公式和数据：
K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
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