成都袁建华
（2018年全国Ⅲ卷理科，第21题，12分12分）
已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．
⑴若0a =，证明：当10x -<<；时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；
⑵若0x =是()f x 的极大值点，求a ．
⑴证明：当0a =时，则()()()2ln 12f x x x x =++-，所以()()ln 11x f x x x '=+-
+.设()()()ln 11x g x f x x x '==+-+，则()()()22
11111x g x x x x '=-=+++，所以当10x -<<；时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>，
所以()g x 在()1,0-上递减；在()0,+∞递增，所以()()00g x g ≥=，
所以当1x >-时，()0f x '≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，
又()00f =，所以当10x -<<；时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.
⑵解：()()()()()22212ln 1212ln 111x ax ax x f x ax x ax x x x
++-'=+++-=+++++，所以()00f '=.
因为0x =是()f x 的极大值点，所以0δ∃>，当(),0x δ∈-时，()0f x '>；当()0,x δ∈时，()0f x '<.
又()()()()()212ln 12ln 1ln 1111ax x x x f x ax x x x a x x x x -⎡⎤'=+++=++++-⎢⎥+++⎣⎦
，设()()2ln 11x h x x x =+++，则()00h =，()()
23201x h x x +'=>+，所以()h x 在()1,-+∞上单调递增，所以以当10x -<<；时，()0h x <；当0x >时，()0h x >，
所以当0x ≠时，()2ln 101x x x x ⎡
21年高考成绩查询⎤++>⎢⎥+⎣⎦
.
由⑴知，当0x ≠时，()ln 101x x x
+-
>+，所以若0a ≥时，()0f x '≥，此时()f x 不存在极值，故0a <.由⑴知，当10x -<<；时，()2ln 12x x x +<
+；当0x >时，()2ln 12x x x +>+.显然0δ∃>，当(),x δδ∈-时，120ax +>.
①当(),0x δ∈-时，则()()()()2221212ln 1121x ax ax x ax x f x ax x x x x
+--'=+++<++++()
()()256112x ax a x x ++=++，
若610a +<，则00δ∃>，使得当()0,0x δ∈-时，5610ax a ++<，此时()0f x '<，不满足题意，故610a +≥，即16
a ≥-；②当()0,x δ∈时，则()()()()2221212ln 1121x ax ax x ax x f x ax x x x x
+--'=+++>++++()
()()256112x ax a x x ++=++，
若610a +>，则00δ∃>，使得当()00,x δ∈时，5610ax a ++>，此时()0f x '>，不满足题意，故610a +≤，即16
a ≤-.综上，1,1,6a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，所以16a =-.
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