2013年高考数学全国课标ⅱ卷(理科)第21题解答评析
2013年高考数学全国课标Ⅱ卷(理科)第21题解答评析
一、题目及要求
题目：设$f(x)$为定义在$[0,+\infty)$上的连续函数，且满足$f(0)=0,f(x)>0$（$x$＞$0$）.
证明：$\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\cdot\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}>x^2$.
要求：分析证明过程中每一步的合理性和逻辑性，注意格式和运算符号的正确性，准确使用严格数学语言和符号。
二、解答思路
本题是一道较典型的证明题，总体思路可以分为以下几个步骤：
1.根据题目信息进行推理和假设，尝试将问题转化为需要证明的形式。
2.根据期望结果，运用一些基本的不等式进行推导，形成选路思维。
3.根据等式成立的条件以及“三角形不等式”等数学原理，进一步化简推导。
4.归纳总结，得出证明结果。
下面将针对每个步骤展开具体的解答思路。
三、解答过程
1.根据题目信息进行推理和假设
假设在$[0,x]$上的任一区间$[a,b]$（$a＜b$）上的函数值$f(x)$均不小于某个正常数$k(0<k<1)$.则有：
$\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\cdot\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}=$
$\displaystyle\int_0^a f(t)\mathrm{d}t\cdot \int_a^bf(t)\mathrm{d}t\cdot \int_0^a\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}+\int_a^bf(t)\mathrm{d}t\cdot \int_b^xf(t)\mathrm{d}t\cdot\int_a^b\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}+\int_b^x f(t)\mathrm{d}t\cdot\int_x^bf(t)\mathrm{d}t\cdot\int_b^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}>x^2$.
2.根据期望结果，运用一些基本的不等式进行推导
显然，对于$[0,a]$上的函数值$f(t)$，由于假设$f(t)≥k$，所以有：
$\displaystyle\int_0^a f(t)\mathrm{d}t≥ak$，即$\displaystyle\int_0^a f(t)\mathrm{d}t\cdot \int_0^a\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}>a^2k>ak^{\frac{3}{2}}$.
同样的，对于$[a,b]$上的函数值$f(t)$，可以用“均值不等式”得到：
$\displaystyle\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\cdot\int_a^b\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}≥(b-a)^2$.
对于$[b,x]$上的函数值$f(t)$，同理可得：
$\displaystyle\int_b^x f(t)\mathrm{d}t\cdot\int_b^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}> (x-b)^2$.
3.根据等式成立的条件以及“三角形不等式”等数学原理，进一步化简推导
根据假设条件，我们不难推算出：
$\displaystyle\int_a^b f(t)\mathrm{d}t>0$.
所以可以在等式两侧减去$\displaystyle\int_0^a f(t)\mathrm{d}t\cdot\int_0^a\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}$，再将上式左侧写成$[0,a],[a,b],[b,x]$三段，经过"三角形不等式"化简，得到：
$\displaystyle\int_a^bf(t)\mathrm{d}t\cdot \int_b^xf(t)\mathrm{d}t>\left(x-\sqrt{k}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t\right)^2$.
同理，将上式化简得：
$\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\cdot \int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}> \frac{(x^2-ak^{\frac{3}{2}}-(b-a)^2-(x-b)^2)^2}{4\left(x-\sqrt{k}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t\right)^2}$.
当等式成立时，根据“三角形不等式”的等式成立条件，有：$ak^{\frac{3}{2}}=(b-a)^2=(x-b)^2$.
21年高考成绩查询这说明，取$k=\dfrac{(x-b)^2}{(b-a)^2}$时，$f(t)$满足所需条件。此时我们可以将上式进一步化简得：
$\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\cdot\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}> x^2>2\sqrt{ak}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$.
4.归纳总结，得出证明结果
当$f(t)$在$[0,x]$上的任一区间$[a,b]$满足$f(t)≥\sqrt{\dfrac{(x-b)^2}{(b-a)^2}}$时，可证明$\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\cdot\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}> x^2$。因此，我们成功完成了本题的证明。