山西省2020年高职对口招生考试
数学试题解析版
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)
1.设集合A={a,b},B={a,b,c}，则B A ⋂=（）
A.
{a,b}
B.
{a}
C.
{a,b,c}
D.
φ
【答案】：A 【解析】：“交集”运算取2个集合的公共元素，故B A ⋂={a,b}
2.等差数列{n a }中，已知9,331==a a ，则公差d 等于（）
A.
2
B.
1
C.
3
D.
4
【答案】：C
【解析】：323
913d 13=-=--=
a a .3.已知13,0log 3
1>>b
a ，则（）
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b<0
D.0<a<1,b>0
【答案】：D
【解析】：10log )(,131
0,1lo 0log 3
13
13
1<<∴=<<
=>a x x f g a 是减函数函数由于,0b 313=>底数3>1，由函数x
x f 3)(=是增函数知，b>0.故0<a<1,b>0.选D
4.下列函数在),0(+∞为单调递减的是（）
A.
x
y =  B.
x
1y =
C.
2
y x =  D.
3
y x =【答案】：B
【解析】：选项A.2
1x x y ==是幂函数，在),0(+∞上，a x =y 当幂指数a>0时是增函数,a<0时是减函数；选项B ，反比例函数x
k
y =
，当k>0时，函数图像过一、三象限的双曲线，满足在),0(+∞是减函数；选项C,2y x =是二次函数，函数图像是一条开口向上且关于y 轴对称的抛物线，故2y x =在),0(+∞上单调递增；选项D ，3y x =图像是一条关于原点对称的上升曲线(从左往右看)函数在R 上单调递增.
5.已知直线x-y-2=0，则此直线的斜率为（）
A.
-1
B.
-2
C.
1
D.
2
【答案】：C 【解析】：x-y-2=0变形为斜截式方程y=x-2，可知斜率k=1.
6.已知0cos ,0sin ><αα，则α在（
）
A.
第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限【答案】：D 【解析】：考察三角函数值在各个象限的符号，可通过各象限内点的坐标的正负和三角函数定义来推导得出，记忆口诀：第一至第四象限的角的正弦值依次为“正正负负”，余弦值依次为“正负负正”，正切值为“正负正负”，也可借助口诀“全STC ”来记忆。7.ABC ∆中，角A ，角B ，角C 的对边分别为a,b,c ，已知︒=∠︒=∠=
6045,3B A b ，，则a=（）
A.
2
B.
3
C.
2
2
3  D.
6
【答案】：A
【解析】：根据正弦定理
B A sin b sin a =，2
3
3
22a =
得2a =.8.双曲线14
x 22
=-y 的渐近线方程为（
）
A.
x 2
1y ±
=  B.
x
2y ±=  C.
x 4
1y ±
=  D.
x
4y ±=【答案】：A
【解析】：双曲线的焦点位于x 轴，且a=2,b=1故渐近线方程应该为x x a b 2
1
y ±=±
=.故选A 9.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的正切
值为（
）
A.
31
B.
4
2C.
3
22  D.
2
【答案】：B
山西招生考试网对口升学【解析】：正方体1111D C B A ABCD -中ABCD CC 底面⊥1，所成的角与平面就是ABCD AE EAC ∠∴，设正
方体的边长为a ，则42
221
ta =
==∠a
a
AC EC EAC n .10.已知平面向量→
→
b 、
a 不共线，若向量→
→
→
→
→
→
→
→
→
-=+-=+=b a CD b a BC b a AB 33,82,5，则（）
A.
ACD 三点共线
B.
ABC 三点共线
C.
BCD 三点共线
D.ABD 三点共线
【答案】：D
【解析】：→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→+=-++-=+=-=+-=b
a b a b a CD BC BD b a CD b a BC 5)33()82(33,82，得由已知A
B
C
D C 1B 1
D 1
A 1
E 第9题
三点共线、、，共线且有公共点与D B A B BD AB AB BD ∴=∴→
→→→,。
二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共计32分)
11.6log 18log 33-=
.
【答案】：1
【解析】：本题考察对数的运算性质13log 6
18
log 6log 18log 33
33===-12.x x y 2
2
cos sin -=的最小正周期T 为
.
【答案】：π
【解析】：x x x x x x x y 2cos )2cos 1(1cos 21cos cos 1cos sin 22222-=+-=-=--=-=，2
=ωππωπ===∴2
22｜｜T .
13.若=
++++++++=34
43
32
2104
,)1()x 1()1()1(x a x a a x a x a a 则.
【答案】：-4
【解析】：等式右边展开式中含4x 的项的系数为：1a 4444==a c ，则含3x 的项的系数为4a ,0a 41a a 33333344-=∴=+⨯=+C C .
14.若椭圆19
y 162
2
=+x 上有一点P 到一个焦点的距离为2，则到另一个焦点的距离为.
【答案】：6
【解析】：由椭圆的方程知a=4，根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点距离的和为2a=8，所以到另一个焦点的距离为8-2=6.
15.2)101011(转为十进制的数为
.
【答案】：43
【解析】：按权展开得43
12832212120212021)101011(0123452=+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=16.设直线x+3y-2=0与直线ax-y+2=0垂直，则a=
.
【答案】：3
【解析】：两条直线垂直，则它们的法向量→
→
21n n 、也互相垂直，则0n n 21=⋅→
→
，
0)1(311,a 31n n 21=-⨯+⨯=-⋅=⋅→
→
a ）（），（，得a=3.17.
32
31
-
8125
1⋅）（=.
【答案】：9
【解析】：
9452)51(8125132
3)
31
(332
31
-=+=+=+⨯-⨯）（.
18.向量→→→c b a ，，
顺次相连构成一个三角形，则=++→
→→c b a .
【答案】：→
【解析】：三个向量首尾顺次相连构成三角形，最后一个向量的终点与第一个向量的起点重合，故
→
→
→→
=++0c b a .
三、解答题(本大题共6小题，共38分)
19.(4分)已知⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤-=1,1
81|,3|)(x x x x x f ，求f[f(-2)].
【答案】：2
【解析】：解：f(-2)=|-2-3|=5,f[f(-2)]=f(5)=21
-58
=，故f[f(-2)]=220.(6分)从2男2女4名羽毛球运动员中选出男女各一名配对参加混合双打，求其中男运动员甲被
选中的概率.
【答案】：
2
1
【解析】：设“男运动员甲被选中”为事件A ，基本事件总数为41
212=⋅C C ，甲被选中的基本事件个数为2112=⨯C ，所以甲被选中的概率为P(A)=
2
1
42=.21.(7分)同一平面内有向量52||),2,1(==→
→b a ，且→
→
b a //，求向量→
b 的坐标.
【答案】：)
4-,2-()4,2(==→
→b b 或【解析】：设向量→
b 的坐标为),(y x b =→
，则根据题意有2
220
21)52(x ⎩⎨⎧=⨯-⨯=+x y y ，解得，⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==4-2-42y x y x 或所以向量)4-,2-()4,2(==→
→b b 或.
22.(7分)求经过点A(5,2)，B(3,2)，且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程
【答案】：0
31108x 10)5()4(2222=+--+=-+-y x y y x 或【解析】：(方法一)设圆心为点P(a,b)，观察到点A 和点B 的纵坐标相等，都等于2，所以直线AB//x
轴，故
42
352a =+=+=B A x x ，圆心P 在直线2x-y-3=0上，把(4,b)代入方程解得，b=5,)
5,4(P 圆心∴半径10)52()45(222
2=-+-==｜｜PA r ，故圆的标准方程为10
)5()4(22=-+-y x
变形为一般方程即：0
31y 10-8x 22=+-+x y ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-2222
22)2()3()2()5(03-a 2r b a r b a b 解得：⎪⎩
⎪⎨⎧===1054r b a 故圆的标准方程为10)5()4(22=-+-y x 变形为一般方程即：0
31y 10-8x 22=+-+x y (方法三)设圆的标准方程为)04(0Ey x 2222>-+=++++F E D F Dx y ，圆心坐标为(2
-,2-E
D )，圆心在直线2x-y-3=0上，故-D+
2
E
-3=0(1)，把点A(5,2)，B(3,2)代入圆的方程中得25+4+5D+2E+F=0(2),9+4+3D+2E+F=0(3),(1)(2)(3)连列方程组可解得：D=-8,E=-10，F=31
故所求圆的一般方程为：031y 10-8x 22=+-+x y .
23.(6分)已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，225S ,5a 153==，求n
a 【答案】：1
n 2-=n a 【解析】：设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d，则
由⎩⎨⎧==2255a 153S 得⎪⎩
⎪⎨⎧=⨯⨯+=+225214
15a 155d 2a 11d 解得：12)1(21)1(a a ,2d 1a 11-=-+=-+=∴⎩⎨⎧==n n d n n .24.(8分)]5,5[,22)(f 2
-∈++=x ax x x ，求
(1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在[-5,5]上是单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】：(1)最大值为37，最小值为1；(2)5
5-≤≥a a 或【解析】：(1)a=-1时，]5,5[,22-)(f 2-∈+=x x x x ，函数图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=1
]5,5[1-∈，故函数最小值为f(1)=1；f(-5)=25+10+2=37，f(5)=25-10+2=17，所以函数的最大值为37.(2)函数f(x)图像的对称轴为直线x=a -=2
a
2-
，若函数f(x)在[-5,5]上是单调函数，则55a -≥--≤a 或即55-≤≥a a 或.所以若函数f(x)在[-5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围是55-≤≥a a 或.
山西省2020年对口升学数学试题真题解析
山西省2020年对口升学考试数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)
1.设集合A={a,b},B={a,b,c}，则B A ⋂=（）
A.
{a,b}
B.
{a}
C.
{a,b,c}
D.
φ
2.等差数列{n a }中，已知9,331==a a ，则公差d 等于（）
A.
2
B.1
C.3
D.
4
3.已知13,0log 3
1>>b
a ，则（）
A.
a>1,b<0
B.
a>1,b>0
C.
0<a<1,b<0
D.
0<a<1,b>0
4.下列函数在),0(+∞为单调递减的是（）
A.
x
y =  B.
x
1y =  C.
2
y x =  D.
3
y x =5.已知直线x-y-2=0，则此直线的斜率为（
）
A.-1
B.-2
C.
1
D.
2
6.已知0cos ,0sin ><αα，则α在（）
A.
第一象限
B.
第二象限  C.
第三象限
D.
第四象限
7.ABC ∆中，角A ，角B ，角C 的对边分别为a,b,c ，已知︒=∠︒=∠=6045,3B A b ，，则a=（
）
A.
2
B.
3
C.
2
23  D.
6
8.双曲线14
x 22
=-y 的渐近线方程为（
）
A.
x 2
1y ±
=  B.
x
2y ±=  C.
x 4
1y ±
=  D.
x
4y ±=9.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的
正切
值为（
）
A.
31  B.
4
2C.
3
22  D.
2
A
B
C
D C 1B 1
D 1
A 1
E 第9题