2021全国硕士研究生入学统一考试（数学一）试题解析
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知()f x 满足()1
lim
1ln x f x x
→=，则（    ）
（A ）()10f =    （B ）()1lim 0x f x →= （C ）()11f '=
（D ）()1
lim 1x f x →'= （2）设函数y z xyf x ⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
，且
()f u 可导，若()ln ln z z x y xy y x x y ∂∂+=-∂∂，则（  ） （A ）()()1
1102f f '=
=，  （B ）()()11012
f f '==
， （C ）()()1
1112
f f '==，
（D ）()()1011f f '==，
（3）设有数列{}n x ，2
2
n x π
π
-
≤≤
，则（    ）
（A ）若lim cos(sin )n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在 （B ）若limsin(cos )n n x →∞存在，则lim n n x →∞
存在 （C ）若lim cos(sin )n n x →∞存在，则lim sin n n x →∞存在，但lim n n x →∞不一定存在 （D ）若limsin(cos )n n x →∞存在，则lim cos n n x →∞存在，但lim n n x →∞
不一定存在 （4）已知1
102(1cos )x I dx x =
+⎰，120ln(1)1cos x I dx x
+=+⎰，13021sin x
I dx x =+⎰，则（    ） （A ）123I I I <<      （B ）213I I I << （C ）132I I I <<      （D ）321I I I <<
（5）3阶矩阵A 可以相似对角化的一个充分但不必要条件为（    ） （A ）A 有三个不相等的特征值
（B ）A 有三个线性无关的特征向量
（C ）A 有三个两两线性无关的特征向量 （D ）A 的属于不同特征值的特征向量相互正交
（B ）方程组0E A y O AB ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
只有零解 （6）设A 、B 均为n 阶矩阵，如果方程组0Ax =与0Bx =同解，则（    ）
（A ）方程组0A O y E B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
只有零解
（C ）方程组0A B y O B ⎛⎫=
⎪⎝⎭与0B
A y O A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
同解 （D ）方程组0AB
B y O A ⎛⎫=
⎪⎝⎭与0BA A y O B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
同解 （7）设111λα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，211αλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311αλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，421αλλ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，若向量组123,,ααα与124
,,ααα等价，则λ的取值范围是（    ） （A ）{}0,1
（B ）{λ| λ∈ R ,λ≠ -2} （C ）{λ| λ∈ R ,λ≠ -1,λ≠ -2}
（D ）{λ| λ∈ R ,λ≠ -1}
（8）设随机变量 X ~ U (0, 3) ，随机变量Y 服从参数为2 的泊松分布，且 X 与Y 的协方
差为1-，则(21)D X Y -+（    ） （A ）1
（B ）5 （C ）9
（D ）12 （9）设随机变量12,,,n X X X L 独立同分布，且1X 的4阶矩存在，记1()
k
k E X μ=（1,2,3,4k =），则由切比雪夫不等式，对任意0ε>有22
11n i i P X n με=⎧⎫
-≥≤⎨⎬⎩⎭
∑（    ） （A ）2
42
2
n μμε
-
（B 2
（C ）2
212n μμε-
（D 2 （10）设随机变量~(0,1)X N ，在X x =条件下，随机变量~(,1)Y N x ，则X 与Y 的相关系数为（    ） （A ）
1
4
（
B ）1
2
（C
（D ）
2
二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上. (11)函数22(,)2f x y x y =+
在点（0,1）的最大方向导数是___________. (12)
2
1
e =⎰
___________. (13) 当0x ≥，0y ≥时，22x y x y ke ++≤恒成立，则k 的取值范围是___________.
(14) 已知级数
1
!nx
n n n e n ∞
-=∑的收敛域为(),  a +∞，则a =___________. （15）已知矩阵A 和E A -可逆，其中E 为单位矩阵，若矩阵B 满足()(
)1
E E A B A ---=，
则B A -=___________.
（16）设A,B,C 为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，
1
()()()3
P A P B P C ===，则()P B C A B C =U U U ___________.
三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）设函数()y x
是微分方程2y y '=满足()1=3y 的解，
求曲线()y y x =的渐近线.
（18）（本题满分12分）已知平面区域(
){}
,22D x y y x y =
-≤≤
≤≤，计算
()
2
2
2
D
x y I dxdy x y
-=+⎰⎰
（19）（本题满分12分）已知∑为曲面()2
2
2
410,0,0x y z x y z ++=≥≥≥的上测，L 为∑的边界曲线，其正向与∑的正法向量满足右手法则，计算曲线积分
()()22cos 22sin L
I yz z dx xz dy xyz x z dz =-+++⎰.
（20）（本题满分10分）设()f x 在(),-∞+∞上有二阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充要条件是对任意的实数,a b ，()12b a a b f f x dx b a +⎛⎫
≤
⎪-⎝⎭
⎰. （21）（本题满分12分）已知二次型()33
12311
,,i
j
i i f x x x ijx x
===
∑∑.
（1）写出()123,,f x x x 对应的矩阵；
（2）求正交变换x Qy =将()123,,f x x x 化为标准形； （3）求()123,,0f x x x =的解. （22）（本题满分12分）
设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，12,,,m Y Y Y ⋅⋅⋅为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中(0)θθ>是未知参数.利用样
本1212,,,,,,,n m X X X Y Y Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，求θ的最大似然估计量$θ
，并求$()D θ.
【答案】B
【解析】()()()1
1
1
1
lim lim
ln lim
limln 100ln ln x x x x f x f x f x x x x
x
→→→→=⋅=⋅=⨯=.
【答案】B 【解析】
22z y y y y y y yf xyf yf f x x x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫''=+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，1z y y y y xf xyf xf yf y x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 从而2ln z z y y x
y xyf xy x y x x ∂∂⎛⎫⎛⎫
+== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，1ln 2y y f x x ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即()1ln 2f u u =，故
()()1
1012
f f '==
，. （1）（2）
【答案】D 【解析】在区间,  22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上，若lim sin(cos )n n x a →∞=，则l i m c o s a r c s i n n n x a →∞=，但是lim n
n x →∞
不一定存在，例如arccos(arcsin ),  arccos(arcsin ),n a n x a n ⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数
满足前面的条件但lim n n x →∞
不存在. （3）
【答案】A
【解析】令()ln(1)2x
h x x =+-
，11()012
h x x '=
->+，()0,  1x ∈，于是()h x 单调递增，又由(0)0h =可知()ln(1)02
x
h x x =+-
>，其中()0,  1x ∈，故ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++，
故12I I <. 当()0,  1x ∈时，()()()1sin ln(1
)1sin 221cos x x x x x x x ++<+<<+，则ln(1)21cos 1sin
x x
x x +<++，故23I I <.
【答案】A 【解析】A 选项是充分但不必要条件，B 选项是充分且必要条件，C 选项和D 选项不充分。 （5）
（4）
【答案】C 【解析】记12y y y ⎛⎫=
⎪⎝⎭，方程组120000
Ay A B A O y y O B O B By =⎧⎛⎫⎛⎫
=⇔=⇔⎨ ⎪ ⎪
=⎝⎭⎝⎭⎩，方程组（6）
【答案】C 【解析】2
123,,(2)(1)αααλλ=+-，2
2124,,(1)(1)αααλλ=+-，当{}1
,1,2λ∉--时，
()()123124,,,,3r r αααααα==，此时两个向量组等价；当1λ=时，
123
4111⎛⎫
⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭
，此时两个向量组等价；当1λ=-时，()()
12312
,,3,
,r r αααααα=>，此时两个向量组不等价；当2λ=-时，
()()12312,,
3,,r r αααααα<
=，此时两个向量组不等价。综上，1λ≠-且2λ≠-。
αααα（7）
【答案】C 2
3(21)44(,)424(1)912
D X Y DX DY Cov X Y -+=+-=⨯+-⨯-=
（8）
12
0000By B A B O y y O A O A Ay =⎧⎛⎫⎛⎫
=⇔=⇔⎨
⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩，由于方程组0Ax =与0Bx =同解，故方程组0A B y O B ⎛⎫= ⎪
⎝⎭与0B
A y O
A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
同解. 【答案】A 【解析】{}22P X σμεε-≥≤，()2221111n n i i i i E X E X n n μ研究生入学考试
==⎛⎫== ⎪⎝⎭
∑∑，()()()()()2222422
11142211
11111()n n
i i i i D X D X D X E X E X n n
n n n μμ==⎛⎫⎡⎤==
=-=- ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭∑∑，则2
24222
11n i i P X n n μμμεε=⎧⎫--≥≤⎨⎬⎩⎭
∑. 【答案】D
【解析】22
()x f x -
=
，()2
2
()y x f y x --
=
，
（9）
（10）
()222
1
(,)()()2y x x f x y f x f y x e
π
-+-
==，(
)22
22
4
1()2y x x y f y e dx π
-++∞
-
-
-∞
=
=
⎰
，易知
~(0,2)Y N ，()()0E X E Y ==，()1,()2D X D Y ==，而