八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题
（2）变式关联：如图2，点E 在正方形ABCD 内，点F 在直线BC 的上方，BE ＝DF ，BE ⊥DF ，M 为AF 的中点，求证：①CE ⊥CF ；②AE ＝2DM ．
（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 在线段BC 上，F 在线段
BD 上，BE ＝DF ，直接写出()2
AE AF +的最小值．
2. 已知：正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，连接CE ，作EF CE ⊥交AB 于点F ．
（1）如图（1），求证：CE EF =；
（2）如图（2），作EM BD ⊥交AD 于点M ，连接BM ，求证：BM =；
（3）如图（3），延长CE 交DA 于点N ，若BE =6AN =，则CE =_________．
3. 已知，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，6AB =，E 、F 分别为AD 、CD 上一点．
（1）如图1，若60EBF ∠=︒，求证：AE DF =；
（2）如图2，E 为AD 中点，1DF =，线段EG 交BC 于G ，FH 交AB 于H ，60EOF ∠=︒，若BH x =，CG y =．
①求y 与x 之间的函数关系式；
②若6x y +=，则HF =______．
4. （1）问题背景：如图1，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CB CD ⊥交AB 的延长线于F 求证：CE CF =；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB 、EF 交于M ，请探究DM 、BM 与BF 之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB 和CE 交于点N ，连接CM 并延长
交AB 于点P ，已知DE =，15DME ∠=︒，直接写出PB 的长________．
5. 正方形ABCD 的边长为4．
（1）如图1，点E 在AB 上，连接DE ，作AF D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．①求证：DF CG =；
②如图2，对角线AC ，BD 交于点O ，连接OF ，若3AE =，求OF 的长；（2）如图3，点K 在CB 的延长线上，2BK =，点N 在BC 的延长线上，4CN =，点P 在BC 上，连接AP ，在AP 的右侧作PQ AP ⊥，PQ AP =，连接KQ ．点P 从点B 沿BN 方向运动，当点P 运动到BC 中点时，设KQ 的中点为1M ，当点P 运动到N 点时，设KQ 的中点为2M ，直接写出12M M 的长为________．
6. 如图，已知四边形ABCD ，∠A ＝∠C ＝90°，BD 是四边形ABCD 的对角线，O 是BD 的中点，BF 是∠ABE 的角平分线交AD 于点F ，DE 是∠ADC 的角平分线交BC 于点E ，连接FO 并延长交DE 于点G ．
（1）求∠ABC +∠ADC 的度数；
（2）求证：FO ＝OG ；
（3）当BC ＝CD ，∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°时，求证：DM ＝2AB
7. 如图，已知在ABC 和ADE 中，AB AC =．
（1）如图1，若90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AD AE =，4AC =，3CE =，连接CD ，求线段CD 的长；
（2）如图2，若60BAC DAB ∠=∠=︒，AD AB =，E 、F 分别为BC AB 、边上的
动点，CF 与AE 相交于点M ，BCF CAE ≌，连接DM ，点N 是DM 的中点，证明：2AM CM AN +=；
（3）在（2）的条件下，G 是AC 的中点，1AC =，连接GE ，H 是ABC 所在平面内一点，连接HE HG 、，HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，连接HD ，求HD 的最小值．
8. 在□ABCD 中，对角线AC AB =，且AC AB ⊥，E 为CD 边上一动点，连接BE 交AC 于点F ，M 为线段BE 上一动点，连接AM ．
（1）如图1，若8AB =，2CF =，M 为BF 的中点，求AM 的长；
（2）如图2，若M 在线段BF 上，45AME ∠=︒，作CN AM ∥交BE 于点N ，连接AN ，求证：AN AB =；
（3）如图3，若M 在线段EF 上，将△ABM 沿着AM 翻折至同一平面内，得到AB M ' ，点B 的对应点为点B '．当30ABE ∠=︒，90BMB '∠=︒时，请直接写出B M EM AM
'-的值．9. 在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、CD 边上的点，连接AC 、AF 、EF ．
（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，若CE CF =，5AF =，6EF =，求AG 的长；（2）如图2，若60ABC ∠=︒，DAF EFC ∠=∠，求证：BE CF =；
（3）如图3，在（2）的条件下，将BEF △沿BF 翻折至同一平面内，得到BE F ' ，连接CE '与BF 交于点O ，记CEF △、CE F ' 、BCF △的面积分别为1S 、2S 、3S ，当O 为BF 中点时，请直接写出321
3S S S -的值．10. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ．
（1）如图1，点F 为DE 的中点，连接AF ，若BE AE =，求FAD ∠的度数；（2）如图2，BEM △是等边三角形，连接DM ，H 为DM 的中点，连接AH ，猜想线段AH 与AE 之间的数量关系，并证明．
8点28分（3）在（2）的条件下，N 为AD 的中点，连接AM ，以AM 为边作等边 AMP ，
连接PN ，若AD =PN 的最小值．
11. 问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．
（1）求证：四边形ABCD 是正方形；
（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相
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