1．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X | 0 | 1 |
P | 1－p | p |
其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布．
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
2．超几何分布
P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．
即
X | 0 | 1 | … | m |
P | … | |||
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．服从两点分布．(×)
(2)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)
(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)
(5)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)
(6)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．(√)
(7)对于正态分布X～N(μ，σ2)，总有P(x＜μ－a)＝P(x≥μ＋a)．(√)
(8)X～N(μ，σ2)，发生在(μ－3σ，μ＋3σ)，之外的概率为0，称之不可能事件．(×)
(9)正态总体(1,9)在区间(0,1)和(－1,0)上的概率相等．(×)
(10)随机变量分布列为
X | 1 | 2 |
P | p | 2p |
是两点分布．(×)
考点一 两点分布、超几何分布
命题点 | 1.8点28分求两点分布的分布列 2.求超几何分布列 |
[例1] (1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B.
C. D.
解析：设X的分布列为
X | 0 | 1 |
P | p | 2p |
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝，故应选C.
答案：C
(2)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列及期望．
解：①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5个．
②X服从超几何分布，P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
于是可得其分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | ||||
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
[方法引航] (1)两点分布列的随机变量X取值为1和0，不能取其它整数，X＝1表示“成功”.
(2)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.
1．若将本例(1)改为
x | 0 | 1 |
P | p | p2 |
，求X的成功率．
解：p＋p2＝1，(p＞0)，∴p＝
∴X的成功率P(x＝1)＝2＝.
2．将本例(2)改为：随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70] |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
年龄在[25,30)，[55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
①求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；
②求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
③若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
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