数列常见数列公式（超全的数列公式及详细解法编撰）
数列常见数列公式（超全的数列公式及详细解法编撰）
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）
2．等差数列的通项公式：
d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m
n a a m
n -- 4．等差中项：,,2
b a b
a A ?+=
成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式
6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=
（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2
d
a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值
（2） 利用n S ：由n )2
d
a (n 2d S 12n -+=
二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n
a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(1≠??=-q a q
a a m
n m n 3．｛n a ｝成等比数列?
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性：
当q>1, 1a >0或0<q1, 1a <0,或0<q0时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和</q</q
等比数列的前n 项和公式：
∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q
q
a a S n n --=11 ②
当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴912
3a a a =，
即)8()2(112
1d a a d a +=+d a d 12
=?
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵2
55a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=??+
…………② 由①②得：5
3
1=
a ，53=d
∴n n a n 5
3
53)1(53=?-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式??
≥-==-2
1
11n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=?-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-
,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-
].)1(2[3
2
3
])2(1[2)
等比数列前n项和公式
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评：利用公式≥-==-2
1
1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k
k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}