求数列前n项和的几种常用方法
江苏省    马吉超
一、 公式法
如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n项求和公式，这是最基本的方法。但应注意等比数列前N项求和公式中的条件。
例1  求
解：①当时，。
②当时，。
二、分组转化法
如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。
例2  求
解：
         
例3  求
解：
∴
   
   
   
    三、倒序相加法
如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）
例4  求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。
解：        ⑴
又      ⑵
⑴+⑵得
   
故 
例5  求
解：      ⑴
          ⑵
又 
⑴+⑵得
故 
四、错位相减法
形如的数列，其中是等差数列，是等比数列，则可在求和等式两边同乘的公比，然后两等式错位相减。（等比数列求和公式可用此法推导）
例6  求
    ∵    ①
∴         ②
① — ② 得
       
故
五、裂项相消法
如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差，求和时，大部分正负项又可以相消，则可用此法。
例7  求 
解：
     
      =
例8  求
解
    ∴
       
六、二项式定理法
某些由组合数构成的数列求和时，往往用二项式定理更有效。
例9  求
解：由二项式定理
                ⑴
          ⑵
      ⑶
∵
∴⑴与⑵的积中含项的系数
应与⑶中含项的系数相等。
故  。
七、常见结论法
熟悉一些常见结论，对解决求和问题很有益处。如:等比数列前n项和公式
⑴.
⑵
⑶等差数列的前N项和、次N项和、后N项和构成等差数列。
⑷等比数列的前N项和、次N项和、后N项和构成等比数列。
例10  设某等差数列的前10项和，前20项的和，求该数列前30项的和.
解：由、、构成等差数列知：
      =+,
即  ,
得  .